第８回 ベクトルの微分２

第８回　ベクトル関数の微分２

ベクトル関数A(t)を考えている区間で連続であるとする。

関数A(t)においてtの増分をΔt、t+Δtに対応するベクトルをA+ΔAとすれば、A(t+Δt)=A(t)+A(Δt)であるから、

　　ΔA=ΔA(t+Δt)–A(t)

ΔAをΔtに対応するA(t)の増分であるという。Δtが０に近づくとき、
　　
が存在するとき、これをA(t)のtに関する微分係数といい、
　　
であらわす。

　　

ΔAはベクトル、Δtはスカラー（実数）なので、ベクトル関数の微分係数はベクトルである。

ベクトル関数の微分については、次のことが成り立つ。

　　

証明（？）は、順次、次のように与えられるにゃ。

tの増分Δtに対応するA、Bの増分をΔA、ΔBとする。

　　

そして、Δt→0の極限をとると、

　　

となる。

　　

そして、このΔt→0の極限をとると、Δm→0になるので、右辺の第３項は0になり、

　　

と、
とある本には書いてあるのだが、（あ）の部分は

　　

ともなるわな〜。

この時は、Δt→0のとき、A(t)は連続なのでΔA→0となり、同じ結果になるにゃ。

Δt→0のとき、（あ）と（い）の極限値が違うとエライことになるにゃ(^^ゞ

では、次の式の証明。

　　

Δt→0のときΔB→0になるので、右辺第３項は消えて

　　

となる。

外積の微分の場合は、上の内積の「・」の部分を「×」に変えるだけなのでいいでしょう。

ベクトル関数の微分も、実関数の微分

　　(A+B)'=A'+B'

　　(AB)'=A'B+AB'

と形式に同じということ。

それで、ベクトル関数A(t)の成分をとすると、

　　

となるけれど、基本ベクトルi、j、kが向きと大きさが変わらないベクトル、定ベクトルだから、

　　

となる。

というのは、

　　

そして、右辺第１項は

　　

となる。

基本ベクトルiは定ベクトルなので、

　　

になるので、

　　

となるんだにゃ。

　　

だったら、①式は成立しない。

問題　次のことを示せ。

　　

【解】

　　

AとAの外積はA×A=0だにゃ。

これは物理的に言うと、角運動量を時間で割ると（微分すると）、力のモーメントになるということをあらわしているにゃ。速度ベクトル、加速度ベクトルをvとaとすると、

　　

になる。だから、

　　

そして、この両辺に質量mをかけると、

　　

「角運動量の単位時間あたりの変化はモーメントと等しい」という物理の法則をあらわしている。
前回出てきたニュートンの運動方程式は

　　

と書き換えることができので、ニュートンの運動方程式は、「単位時間あたりの運動量pの変化と質点に作用する力Fは等しい」と言い換えることも可能。

ベクトル解析を知っていると、物理の力学がよくわかるんだケロ。

そして、さらに進むと、電磁気学の理論も自然とわかるようになるにゃ。

物理の分野を、力学、熱（力）学、電磁気学、量子力学の４つに分類すると、ベクトル解析を知っていると、力学と電磁気学の半分くらい、少なくとも、その数学的な部分は難なく理解できると思うにゃ。

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