第１６回 方向微分

第１６回　方向微分

スカラー場f(r)と単位ベクトルuが与えられているとき、点における方向の微分係数（方向微分係数）を次のように定義する。

　　

成分で書くと、これは

　　

となる。

点Pを通り、方向ベクトルuと平行な直線を考える。
点Pからの距離sをもちいて直線の方程式をr=r(s)とあらわす。

そして、このu方向の方向微分を求めると
　　

となる。

uは単位ベクトルなので、uと∇φの内積u・∇φは∇φのベクトルuへの正射影。

また、ベクトルuとベクトル∇φのなす角をθとすると、u・∇φ=｜∇φ｜cosθになる。このことから、φのu方向の方向微分係数であるu・∇φはθ=0の時に最大で、θ=−πの時に最小となる。

u・∇φの絶対値は、｜u・∇φ｜=｜∇φ｜｜cosθ｜なので、θ=0とπのとき最大で、θ=π/2のときに最小になる。つまり、uと∇φが平行なとき最大で、垂直なとき最小になる。

で、∇φは曲面φ(x,y,z)=cの法線ベクトルであったから、uがφ(x,y,z)=cに垂直であるとき、｜u・∇φ｜が最大になるというわけ。

今は単位ベクトルuについての話だったけれど、これはさらに一般化されとしたとき、

　　

となり、

　　

という微分演算子を作ることができる。

そして、この微分演算子は、Uとハミルトン演算子∇の内積と考えられることができる。

ちなみに、ハミルトン演算子∇は

　　

以上の議論はあくまで形式的なものです。

こういうのは、具体的な例をあげたほうがわかりやすいケロ。

f(x,y)=xyという関数があるとするにゃ。そして、u=(a,b)とし、A(x,y)とするにゃ。

そうすると、A(x,y)におけるuの方向微分係数は

　　

となる。

この微分係数は、aとbの方向によって値が変わる。

で、a=1、b=0とすれば、これはの値と一致する。

と言うか、この時は

　　

だから、f(x,y)に対する偏微分の定義そのものになっている。

また、

　　

だから、
　　

となり、求めた方向微分がuと∇fの内積になっていることがわかる。

うまく説明できなかった。後日書き換えることにしょう。

 

 

タグ：ベクトル解析