第２０回 線積分

第２０回　線積分

２点A、Bを結ぶ（滑らかな）曲線Cがあるとする。Cに沿って測った弧長をsとし、曲線Cの方程式を

　　

として、s=a,bにそれぞれ点AとBが対応しているとする。

また、ｆを曲線C上で定義されたスカラー関数（スカラー場）とする。

この曲線Cをn個の孤に分割し、この分割をΔであらわす。各曲線の弧長をとし、の任意の点をとし、次の和をとる。

　　

分割を限りなく小さくしてゆくとき、このI(Δ)が極限値Iを持つならば、この極限値Iをスカラー場fのCに沿っての線積分といい、

　　

であらわす。

Cが閉曲線とき、特に

　　

とあらわすことがある。

積分だから、α、βを定数、fとgをスカラー関数とすると、

　　
が成り立つ。
また、曲線CをC₁、C₂に分解したとき、つまり、C=C₁+C₂としたとき、

　　

Cの逆向きの曲線を曲線を−Cとすると

　　
となる。

問題１　Cを(0,0,0)と(1,1,1)を結ぶ直線とするとき、次の値を求めよ。

　　

【解】

曲線Cの方程式は

　　

になる。

　　

よって、

　　

原点と点P(t,t,t)の距離sは

　　

なので、

　　
としてもよい。

向きのついた曲線C:r=r(t)とC上で定義されたベクトル関数（ベクトル場）Aが与えられているとする。さらに、Cの点Pにおける接線ベクトルをtとすると、A・tは曲線C上で定義されたスカラー関数（スカラー場）となるので、この曲線Cに沿っての線積分は

　　

になり、これをベクトル場Aの向きのついた曲線Cに沿っての線積分という。

また、

　　

という関係があるので、

　　

となり、

　　

となる。

これを成分で書き、

　　

とすれば、

　　
となる。

問題２　ベクトル関数を

　　

とする。xy平面上で、原点Oから点P(0,1,1)にいたる放物線に沿ってのAの線積分の値を求めよ。

【解】

x=tとすると、この曲線（放物線）上で、yはy=x²=t²となり、Aは

　　

となる。

また、
　　

よって、

　　

【別解】

ベクトルではなく、成分で計算しても良い。

　　

を使うならば、zに関しては０なので無視して、

　　

になるので、

　　

となる。

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