第7回 番外編 お絵描きの練習2 [ネコ騙し数学]
第7回 番外編 お絵描きの練習2
中点連結定理
三角形ABCの辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとするとき、である。
証明は、ベクトルを使うと、次のようになるにゃ。
【証明】
(証明終わり)
ちなみに、三角形AMNと三角形ABCは相似で相似比は1/2である。だから、面積は
になる。
ここまではイントロ。
では、問題を解いてみることにするにゃ。問題
図のように△ABCの確変の中点を結び、△A₁B₁C₁をつくり、次々にこの操作を行って△A₂B₂C₂、△A₃B₃C₃、……を作るとき、その面積をS₁、S₂、S₃、……とすれば、
(1) △ABCの面積がSのとき、無限級数
を求めよ。
(2) △ABCの週をl、△A₁B₁C₁の周をl₁、△A₂B₂C₂の周をl₂、……とするとき、
をlであらわせ。
(1) △A₁B₁C₁の面積は△ABCの1/4だから
(2) △A₁B₁C₁は辺の長さがそれぞれ△ABCの各辺の長さの半分になっているのだから、△ABCとの周の長さには
という関係がある。
よって、
ここでは、等比数列の無限級数の公式
を使っている。(1)のときa=S/4、r=1/4で、(2)のときa=l/2、r=1/2。
2016-04-07 12:00
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