中学数学 第3回 不等式 [ネコ騙し数学]
第3回 不等式
不等式の性質
(1) aとbの大小関係は、a>b、a=b、a<bのうちのどれか一つが成立する。(2) a>b、b>cならばa>cである。
(3) a>bならばa+c>b+cである(cは任意の実数)。(4) a>bのとき、c>0ならばac>bc、c<0ならばac<bc
これは数(実数)の公理みたいなものだから、何故、これは無条件で受け入れてもらわないと困るにゃ。
例題 a>b、c>dのとき、a+c>b+dであることを証明せよ。
【証明】a>bならばa+c>b+c
c>dならばb+c>b+dよって、
a+c>b+c、b+c>b+dならば、a+c>b+d(証明終わり)
では、不等式の基本的性質に関する問題。
問題1 次のことは一般に成り立たない。成り立たない例(反例)をあげよ。
(1) a>c、b>cならばab>c²
(3) b/a>1ならばb>aである。
【解】大体、こういう時は、マイナスの数の掛け算(割り算)が関係しているにゃ(^^)
ということで、(1) a=b=1、c=−2。
(3) b=−2、a=−1(2) a=1、b=0
問題2 a+b>c、b+c>a、c+a<bのとき、a、b、cの間にはどの関係が成り立つか。
(1) a>b>c (2) b>c、a>c (3) b>c、b>a(4) b>c>a (5) b>a>c
【解】成り立つのは(3)だけ。
a+b>c、b>c+aより、b+c>aとb>c+aより
よって、(3)は成立する。
(3)以外が成り立たない反例として、a=c=0、b=1を上げればいいにゃ。
問題にはないのだけれど、
a+b>cとb+c>aよりという関係が出てくるにゃ。
問題3 次の問を答えよ。
(1) 不等式2x−8>4x+5の解のうちで、最も大きい整数を求めよ。
(2) ある数xの5倍から6を引いた数は、xの3倍に2加えた数より小さい。xはどんな範囲の数か。【解】
(1)−6.5より小さい整数の最大の数は−7なので、答えは−7。
(2) 5x−6<3x+2
これを解くと、よって、答えはx<4
問題4
を同時に満たす整数x,yの組(x,y)をすべて求めよ。
【解】
①より
これを②に代入すると、
①を解くと
②を解くと
よって、6<x<9。
これを満たす整数xは7、8。
x=7のときx=8のとき
よって、題意を満たす組み合わせは(8,5)。
タグ:中学数学
2016-04-12 20:15
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