第19回 三角形の角と辺の大小 [ネコ騙し数学]
第19回 三角形の角と辺の大小
§1 三角形の辺と角の大小
定理A
三角形において(1) 大きい辺に対する角は小さな辺に対する角よりも大きい。
(2) 大きい角に対する辺は小さな角に対する辺よりも大きい。【証明】
(1) AB>ACとする。AB>ACなので、AB上にAD=ACである点Dを取ることができる。
よって、
∠ADC=∠ACD
よって、AB>ACならば、∠C>∠Bである。
(証明終わり)
(2) ∠C>∠Bとすると、AB上に∠ECA=∠Bとなる点Eを取ることができる。
さらに、∠BCEの二等分線とABの交点をFとする。∠AFC=∠FCA (※)
で、△AFCは二等辺三角形。よって、
AB>AF=AC(証明終わり)
(※)外角定理より、∠AFC=∠B+∠BCF
∠FCA=∠EFC+∠FCE=∠B+∠BCF∴ ∠AFC=∠FCA
(2)で背理法を使うならば・・・。
∠C>∠BのときAC≧ABであるとする。AC=ABのとき、二等辺三角形なので∠C=∠Bとなり矛盾。
AC>ABのとき、(1)より∠B>∠Cとなり矛盾。よって、∠C>∠BならばAB>ACである。
問題1 △ABCの∠Aの2等分線がBCと交わる点をDとすると、
【解】
三角形の外角定理より
∠BDA=∠C+∠CACD=∠C+∠DAB>∠DAB△ABDに注目すると、∠DABの対辺はBDで、∠BDAの対辺はABだから、定理Aより
AB>BDである。
また、∠ADC=∠B+∠DAB=∠B+∠CAB>∠CAB
△ADCに注目すると、同様にAC>DC
である。
問題2
【証明】
AB>ACより∠C>∠B
よって、
(証明終わり)
§2 2つの三角形の辺と角の大小
定理B 2つの△ABC、△A'B'C'において、AB=A'B'、AC=A'C'とする。
(1) ∠A>∠A'ならばBC>B'C'(2) BC>B'Cならば∠A>∠A'
【証明】(1) 図のように、A’B'をABに一致するように△A'B'C'を△ABCに重ねる。
△ADE≡△A'CE
よって、DE=EC
三角形の2辺の和は他の1辺より大きいので、BD<BE+ED=BE+EC=BC
よって、BC>BC'
である。
(2)
∠A>∠A'ならばBC>B'C'
∠A=∠A'ならばBC=B'C'∠A<∠A'ならばBC<B'C'
よって、転換法よりBC>B'Cならば∠A>∠A'
(証明終わり)問題4 △ABCの辺AB、AC上にそれぞれ点D、EをBD=CEとなるようにとると、
AB>ACならばBE>CD【解】
△ABCに注目。
AB>ACならば、定理Aの(2)より∠B<∠C
で、△BCDと△BCEの2つの三角形に注目する。BCは共通、そして、BD=CE。そして、∠B<∠Cだから、定理Bの(1)より
BE>CDである。
よって、AB>ACならばBE>CD
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