番外編 円の方程式

番外編　円の方程式

§１　円の方程式

（１）　円の基本形

円の定義は、１点Cから等距離rにある点Pの集合。

CとPがxy平面上にある、その座標がそれぞれ(a,b)、(x,y)であるとすると、この円の方程式は、二点間の距離の公式（三平方の定理）より

　　

となる。

特に、円の中心Cが(a,b)=(0,0)、つまり、原点であるとき、円の方程式は

　　

である。

繰り返し書くけれど、中心C(a,b)で半径rの円の方程式は

　　

（２）　円の一般形

　　

のとき、

　　

と変形できる。
よって、l²+m²−4n>0のとき、②は中心、半径の円になる。

 

問題１　次の円の方程式を求めよ。

（１）　中心が(1,2)で、点(5,0)を通る

（２）　２点(4,-5)、(2,3）を結ぶ線分を直径とする円

（３）　３点A(-3,7)、B(4,6)、C(3,−1)を通る円

【解】

円の半径をrとする。

（１）　円の方程式は、①より

　　

この円が点(5,0)を通るので

　　

よって、

　　

（別解）

半径rは(1,2)と(5,0)の２点間の距離に等しい。

よって

　　

したがって、円の方程式は

　　

（２）　円の中心は２点(4,-5)、(2,3）を結ぶ線分の中点。

よって、円の中心(a,b)は

　　

半径rは

　　

よって、円の方程式は

　　

（別解）

この円の方程式は
　　

だケロ！！

(x₁,y₁)、(x₂,y₂)を両端とする円の方程式は

　　

という公式がある。

なぜならば、A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、P(x,y)とすると、AP⊥BPだから

　　

になるからだケロ。

（３）　解くの面倒くさいにゃ。

円の方程式を

　　

として、(x,y)=(−3,7),(4,6),(3,−1)を上の式に代入すれば３本の連立方程式が得られ、それを解くと

　　

となるらしい(^^ゞ

問題２　次の方程式があらわす円の中心、および、半径を求めよ。

（１）　x²+y²−6x+4y−12=0

（２）　x²+y²=6x

【解】

（１）　x²+y²−6x+4y−12=0の平方完成をする。

　　

よって、中心(3,−2)、半径5の円。

（２）　x²+y²=6xだから

　　

よって、中心(3,0)、半径3の円。

§２　円と直線

（１）　直線と点の距離

直線ax+by+c=0と点(x₁,y₁)の距離dは

　　

である。

（２）　円と直線

円の半径をr、円の中心と直線の距離をdとするとき、

　（ⅰ）　r<dならば交点０

　（ⅱ）　r=dならば交点１（接点）

　（ⅲ）　r>dならば交点２

になる。

これらの知識を使って円と直線の交点の数の判別をしてみることにする。

問題３　x²+y²=4とy=ax−3との共有点の個数は、実数aの値によってどう変わるか。

【解】

　　

だから、これは原点(0,0)を中心とする半径2の円。

　　

また、この円の中心(0,0)とax−y−3=0の距離は

　　

になる。

d>2のとき

　　

d=2のとき

　　

d<2のとき

　　

この結果をまとめると、

　　

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