第３８回 ベクトルと初等幾何

第３８回　ベクトルと初等幾何

§１　（平面）ベクトル

ベクトルとは、大きさと方向を持った量のこと。

幾何的なベクトルでは、有向線分ABについて、その位置を問題にせず、大きさと方向だけを考えたものをベクトルといい、とあらわす。

また、ベクトルでは次のことが成り立つ。

　　

２つのベクトルの和は次のように定義する。

ベクトルの差は次のように定義する。

ベクトルの内分と外分

位置ベクトルとは原点を始点にするベクトル。

２点であるとき、ABをm:nに内分する点を、外分する点をとすると、

　　

である。

これだけあれば、とりあえず、今回、十分でしょう。

§２　問題

問題１　平行四辺形ABCDの対角線ACを延長し、延長上に点Eをとって、CE=2ACとなるようにする。また、辺ABおよび線DEの中点をそれぞれP、Qとする。

（１）　を、であらわせ。

（２）　３点P、C、Qは一直線上にあることを示せ。

【解】

（１）

　　

で、ACの延長上でCE=2ACとなるところに点Eをとるので、

　　

Qは線分DEの中点なので

　　

（２）　題意より

　　

よって、

　　

したがって、

　　

とは始点が同じ、かつ、平行なので、P、C、Qは一直線上にある。

（解終わり）

ベクトルを使うとこのような解答になるけれど、初等幾何の枠内で解くこともできる。

DAの延長上にAF=ADとなる点をとる（またはPCの延長上にPC=PFとなる点をとる）。


そうすると、条件より、EQ=QD、AC=2CE、さらに、DF=2FAだから、

　　

となり、メネラウスの定理の逆よりF、C、Qは一直線上に存在する。そして、PはFCの中線だから、FQ上存在し、P、C、Qは同じ直線の上にあることになる。

CFの中点であることは、四角形AFBCが平行四辺形であることより明らか！！

問題２　を頂点とする△ABCにおいて、△ABCを1:2に内分する点をD、BCを1:2に内分する点をE、CAを4:1に外分する点をFとする。

（１）　D、E、F各点の位置ベクトルを求めよ。

（２）　D、E、Fは一直線上にあることを証明せよ。

【解】

（１）D、E、Fの位置ベクトルをとする。

　　

（２）

　　

よって、D、E、Fは一直線上にある。

（解答終わり）

人間の目というのは当てにならないね。私の目ではFD=DEに見えなけれど、FD=DEです。

それはそれとしまして、この問題は、メネラウスの定理の逆を使うと、

　　

になるので、E、D、Fは同一直線上に存在していることがわかる。

 

問題３　△OABにおいて、∠AOBの２等分線と辺ABとの交点をC、∠OABの２等分線と辺OBの交点をD、∠OBAの２等分線と∠OAとの交点をEとする。、OA=a、OB=b、AB=cとする。

（１）　を、a、b、cを用いてあらわせ。

（２）　となるのは、どのような場合か。

【解】

（１）　OCは∠AOBの二等分線なので、CはABをa;bに内分する。よって、

　　

同様に、

　　

（２）は、難しいというよりも、見るからに計算が大変そうなので、パスだにゃ。

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