微分の不等式への応用 [ネコ騙し数学]
微分の不等式への応用
問題1 次の不等式を証明せよ。
(1) x>1のとき(2) a>0、x≧0のとき
【解】
(1) 左辺と右辺の差をとり
とする。
f(x)はx>1で微分可能。
よって、f(x)はx≧1で単調増加。
したがって、x>1で
すなわち、
である。
(2) 左辺と右辺の差をとり
とする。
f(x)はx>0で微分可能。
よって、f(x)は0≦x<aで減少、a<xで増加し、f(a)は極小値(最小値)である。
したがって、
(証明終わり)
問題2 a、b、cが正の数であるとき、
の値の増減を調べることにより、次の不等式を証明せよ。
【解】
よって、f(x)はx=√abのときに極小(最小)。
つまり、
x=cとすれば、
(解答終わり)
a³=α、b³=β、c³=γ(α>0、β>0、γ>0)とすると、上の式は次のように書き換えることができる。
この公式を使うと、
の最小値を微分を使わずとも、次のように求めることができる。
等号成立は
のときだから、これを満たすxは存在する。
相加平均≧相乗平均を使って最小値を求めるとき、等号を満たすxが存在することを確かめないといけない。
等号が成立するxが存在しない場合もあるのでこの確認は絶対しなければならない。この程度ならば、微分したほうが楽。
だから、のときに極小値をもつことが分かる。
上の問題では、f(x)の定義域をx>0としているけれど、
とすれば、f(x)は次のようになる。
この図から明らかなように、極小値は存在するけれど、最小値は存在しない。
また、y=aとy=f(x)との交点を調べることにより、3次方程式の実数解の個数を調べることができる。
何故ならば、
だから。
この結果を使うと、
a>□のとき実数解は3つ、a=□のとき実数解は2つ、a<□のとき実数解は1つと判別することができる。ちなみに、1/xの微分は導関数のところで求めてある。
2016-08-12 12:00
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