関数の最大、最小

関数の最大、最小

問題１　xが−1から２まで変わる間に、関数2x³−x²−4xのとる値のうち、最大のものと最小のものを求めよ。

【解】

y=2x³−x²−4xとすると、

　　

−1≦x≦2の関数の増減の表を書くと

x	−1	…	−2/3	…	1	…	2
y'		+	0	−	0	＋
y	1	増加	44/27（極大）	減少	−3（極小）	増加	4

よって、y=2x³−x²−4xのグラフは次のようになる。

x=−2/3のとき最大で最大値は44/27、x=2のとき最小で最小値は−3。

（解答終わり）

この問題の場合、極大値は最大値になっていないことに注意。

関数の極大、極小は、あくまで、局所的な最大・最小にすぎない。

また、問題１の場合、定義域は閉区間[−1,2]（−1≦x≦2）、関数2x³−x²−4xは連続だから、関数の最大値、最小値は必ず存在するけれど、定義域を−1<x<2、つまり、(−1,2)とすると、最小値は−3で存在するが、最大値は存在しない。

問題２　閉区間[−1,4]における関数

　　

の最大値、最小値を求めよ。また、開区間(−1,4)ではどうか。

【解】

|x|は、x≧0のときx、x<0のとき−x。

よって、関数f(x)は

　　

これを微分すると

　　

y=f(x)の増減表を書くと

x	−1	…	0	…	2	…	4
y'		−	0	−	0	+
y	4	減少	0	減少	−14（極小）	増加	16

したがって、グラフは次のようになる。

閉区間[−1,4]のとき

最大値16　（x=4）　最小値0　（x=0）

閉区間(−1,4)のとき

最大値なし　最小値0　（x=0)

（解答終わり）

問題２の関数はx=0で微分可能でf'(0)=0である。増減表を見るとわかるけれど、x=0の前後でf'(x)の符号が変わっていないので、点(0,0)は極値ではないことに注意。

グラフを見れば明らかだけれど、この関数は閉区間[−1,2]で減少している！！

 

問題３　次の関数の最大値と最小値を求めよ。

　　

【解】

t=sinxとおくと、0°≦x≦180°で0≦t≦1になる。

また、cos²x+sin²x=1よりcos²x=1−sin²x=1−t²となる。

これを

　　

に代入し

　　

よって、

　　

g(t)の増減表を書くと

t	0	…	1/2	…	1
g'(t)		−	0	+
g(t)	3	減少	11/4	増加	4

よって、g(t)の最大値はt=1のときでg(1)=4が最大値。

0°≦x≦180°でt=sinx=1に対応するxの値はx=90°。

また、g(t)はt=1/2のとき最小で、最小値は11/4。t=sinx=1/2に対応するxは30°と150°。

以上のことより、f(t)は

x=90°のとき最大で最大値は4

x=30°、150°のとき最小で、最小値は11/4

（解答終わり）