体積

体積

§１　一般の立体の体積

立体をx軸に垂直な平面で切ったときの断面積がxの関数S(x)であるとき、この立体のx=aとx=bとの間の体積Vは

　　

である。

例　底面積A、高さhの角すいの体積

角すいの頂点を原点Oに、Oから底面におろした垂線をx軸にとる。すると、x軸に垂直な平面が角すいを切り取る断面積S(x)は

　　

したがって、

　　

問題１　底面の半径がaであるような直円柱がある。底面の直径を通り、底面と４５°の角をなす平面でこの直円直円柱を切り、この平面と底面および側面で囲まれた立体を作る。この立体の体積を求めよ。

【解】

底面の中心をOとし、底面の直径をx軸にとる。

x座標がxである点をとおりx軸に垂直な平面によって切り取られる立体の断面は、直角２等辺三角形で、その断面積S(x)は

　　

したがって、求める体積は

　　

（解答終わり）

 

§２　回転体の体積

（１）　曲線y=f(x)（a≦x≦b）とx軸とで囲まれた部分をx軸のまわりで回転してできる立体の体積

　　

（２）　曲線x=g(y)（c≦y≦d）とy軸とで囲まれた部分をy軸のまわりで回転してっできる立体の体積は

　　

問題２　曲線y=1−x²とx軸で囲まれた図形が、x軸のまわりを回転してできる立体の体積をV₁、y軸のまわりを回転してできる立体の体積をV₂を求めよ。

【解】

回転させる図形は次の通り。

　　

したがって、x軸のまわりで回転させて得られる図形の体積V₁は
　　

y軸のまわりで回転させて得られる図形の体積V₂は

　　

（解答終わり）

 

（３）　２つの曲線y=f(x)、y=g(x)（f(x)≧g(x)≧0,

a≦x≦b）で囲まれた部分をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積Vは

　　

問題３　放物線y=x²−4x+5と直線y=2xとで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

【解】

y=x²−4x+5とy=2xの交点のx座標は、x=1、x=5。

したがって、求める体積Vは

　　

（解答終わり）

 

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