ワンポイントゼミ ちょっと嫌な問題

ワンポイントゼミ　ちょっと嫌な問題

問題　方程式logx=ax+b（a>0）が実数解をもつための条件を求めよ。また、その時の点(a,b)の存在する範囲を図示せよ。

【解】

　　

とおく。

これはx>0で微分可能。

　　

a>0だから、f(x)はx=1/aのとき極大、かつ、最大。

極大（最大）値は

　　

よって、f(x)=0が実数解をもつ条件は

　　

（解答終わり）

（※）

f(1/a)>0のとき、

　　

よって、中間値の定理より0と1/aと、1/aと∞の間にf(x)=0、つまり、logx=ax+bの解が存在する。

f(1/a)=0のとき、x=1/aが解である。

f(1/a)<0のとき、f(x)≦f(1/a)<0となり、f(x)=0をみたす実数解は存在しない。
このことは、次の図を見れば、明らかでしょう。

意欲のある人は、

y=logxとy=ax+b(a>0)の交点を調べることにより、この問題を解いて欲しい。

（ヒント：y=ax+bを点(0,b)を通る傾きaの直線と考える。そして、(0,b)からy=logxに引いた接線を求める。）

さらに意欲のある人は、

　　

とし、

y=aとの交点を調べることにより、この問題を解いて欲しい。

さらに意欲のある人は、a>0という条件を取り払って解く。

これでやめようと思ったのですが、とつだけ、別解を。

【別解】

(0,b)からy=logxに引いた接線を求める。

接点を(t,logt)とすると、接線の方程式は

　　

これが点(0,b)を通るので

　　

よって、接線の方程式は

　　

上図より明らかなように、y=ax+bの傾きが

　　

のとき、y=ax+bとy=logxは共有点をもつ。

a>0だから、両辺の対数をとると

　　

（別解おわり）

こちらの方がわかりやすくて、スッキリしているのかもしれない。

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