微分方程式２

微分方程式２

問題１　周期が一定の単振動の方程式

　　

から任意定数r、αを消去して、この単振動の満たす方程式を作れ。

【解】

　　

をtで微分すると、

　　

（解答終わり）

問題２　ある物体が大気中で冷却する速さは、その物体の温度と気温の差に比例するという（ニュートンの冷却法則）。

比例定数をk（k>0）として、物体が冷却する微分方程式を作れ。ただし、気温はa℃とする。

【解】

時刻tにおける物体の温度をx、時刻t+Δtにおける温度をx+Δxとする。

この間に冷えた温度は

　　

したがって、冷却の速さは

　　

これが、物体と気温との温度差に比例するので

　　

（解答終わり）

この微分方程式の解は、変数分離法を用いて次のように解くことができる。

　　

t=0のときの物体の温度をx₀とすると――初期条件――、①より

　　

①が一般解、t=0のときx₀が初期条件、そして②が特殊解（特別解）である。

この微分方程式は物体の冷却という現象だけではなく、たとえば、放射性物質の崩壊、コンデンサーの放電など、自然界では広く成立する微分方程式である。

問題３　曲線y=f(x)は第１象限にあって、この曲線上の任意の点Pにおける接線は、つねにx軸、y軸の両方と交わり、その交点をそれぞれQ、Rとすれば、接点Pは線分QRを2:1に内分するという。

（１）　この曲線の満たす微分方程式を求めよ。

（２）　このような曲線のうち、点(1,1)を通るものを求めよ。

【解】

（１）　点P(x,y)における接線の方程式は、(X,Y)を接線上の点の座標とすると、

　　

この接線とx軸との交点Qのx座標は、①にY=0を代入し

　　

Pからx軸におろした垂線の足をHとすると

　　

（２）　②より

　　

この曲線は(1,1)を通るのでC'=1。

よって、

　　

（解答終わり）