微分方程式の応用1 [ネコ騙し数学]
微分方程式の応用1
問題1 曲線上の1点Pにおけるその接線がx軸と交わる点をTとするとき、線分PTがいつもy軸によって2等分されるという。この曲線を求めよ。
【解】曲線上の点Pの座標を(x,y)、Pにおける接線上の点を(X,Y)とすると、接線の方程式は
この接線とx軸との交点Tの座標(X,0)を求めると
y軸は線分PTを2等分するので、線分PTの中点Mのx座標は0。
すなわち、
①と②より
これを解くと
したがって、曲線は原点を頂点とし、x軸を軸とする放物線である。
(解答終了)
問題2 曲線上の1点Pからx軸、y軸におろした垂線の足をQ、Rとするとき、次の問いに答えよ。
(1) Pにおける接線がいつも直線QRと平行になっている曲線を求めよ。
(2) Pにおける接線がいつも直線QRと垂直になっている曲線を求めよ。
(3) Pにおける接線と直線QRとの交点をSとするとき、Sがy軸に平行な一定直線x=aの上にある曲線を求めよ。
【解】(1) Qの座標は(x,0)、Rの座標は(0,y)だから直線QRの傾きは
直線QRと点Pにおける接線が平行だから、直線QRと接線の傾きは等しい。
すなわち、
(2) 点Pにおける曲線の接線と直線QRが垂直だから、接線の傾きと直線QRの傾きの積は−1である。
すなわち、(3) 点Pにおける曲線の接線の方程式は、とすると、
また、直線QRの方程式は
交点SではX=aだから
Yを消去すると
よって、
(解答終了)
問題3 次の曲線群のすべてと直角に交わるような曲線の方程式を求めよ。
(1) y²=4px (pは任意定数でp≠0)(2) xy=a (aは任意定数でa≠0)
【解】(1)
y²=4pxをxで微分すると
両辺にxをかけると
xy≠0とすると、
P(x,y)でy²=4pxと直角に交わる曲線の傾きをとすると、
この微分方程式を解くと、
xy=0のとき、y²=4pxの接線はy軸だから、これに直交する曲線はx軸、すなわち、y=0。
よって、求める曲線は、
または、y=0である。
(2) xy=aをxで微分すると
P(x,y)でxy=aと直交する曲線の傾きをとすると、
これを解くと、
(解答終了)
タグ:微分積分
2016-10-13 12:00
nice!(0)
コメント(0)
トラックバック(0)
コメント 0