第７回 定積分の性質２

第７回　定積分の性質２

定理１０

関数f(x)、g(x)が有界閉区間I上で積分可能ならば、f(x)g(x)もI上で積分可能である。

【証明】

f(x)、g(x)はI上で有界だから、

　　

となる定数M（M>0）が存在する。

y∈Iとすると、

　　

したがって、Iの任意の分割をΔ、とすれば、振幅は

　　

よって、

　　

f(x)、g(x)はI上で積分可能だから、｜Δ｜→0のとき

　　

だから、

　　

となり、f(x)g(x)はI上で積分可能である。

（証明終）

よって、有界閉区間I上で連続な関数f(x),g(x)はI上で積分可能だから、上の定理からf(x)g(x)はI上で積分可能である。

また、f(x)を有界閉区間I上で連続、g(x)をI上で積分可能のとき、f(x)g(x)はI上で積分可能である。

定理１１

関数f(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)>0、さらにが有界ならば、もI上で積分可能である。

【証明】

f(x)はI上で有界だから

　　

である定数M>0が存在する。

したがって、x,y∈Iに対して

　　

Iの任意の分割をΔ、とすると

　　

f(x)はI上で積分可能だから

　　

よって、

　　

したがって、1/f(x)はI上で積分可能である。

（証明終）

上の２つの定理から、f(x)、g(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)≠0ならば、f(x)/g(x)はI上で積分可能ということになる。

定理１２

関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で積分可能ならば、｜f(x)｜はI上で積分可能で

　　

である。

【証明】

x、y∈Iに対して

　　

Iの任意の分割をΔ、とすると、

　　

よって、

　　

f(x)はI上で積分可能だから

　　

したがって、

　　

となり、｜f(x)｜はI上で積分可能である。

また、

　　

よって、

　　

（証明終）

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