第１１回 合成関数の微分法２

第１１回　合成関数の微分法２

 

定理１２

関数f(x,y)が領域Dで全微分可能であり、関数φ(t)、ψ(t)が区間Iで微分可能かつφ(t),ψ(t)∈Iであれば、合成関数F(t)=f(φ(t),ψ(t))は区間Iで微分可能で

　　
が成り立つ。

z=f(x,y)、x=φ(t)、y=ψ(t)とすると、

　　

【証明】

φ(t+τ)–φ(t)=h(τ)、ψ(t+τ)–ψ(t)=k(τ)とする。

　　

関数fは（全）微分可能だから、

　　

τ≠0のとき、
　　

τ→0のとき、φ(t)とψ(t)は微分可能だから

　　

また、

　　

よって、F(t)は微分可能で、

　　

になる。

（証明終）

 

インチキだが、上の証明よりも、機械的に次のようにしたほうが直観的にわかりやすいだろう。

　　

これをdtで割ると、

　　

 

問１　z=z(x,y)はC²級とする。次の関係から、を求めよ。

【解】

だから、

　　

（解答終了）

 

定理１３
z=f(x,y)が全微分可能なとき、x=x(u,v)およびy=y(u,v)がu,vの微分可能な関数な関数ならば、合成関数f(x(u,v),y(u,v))はu,vの微分可能な関数であって、

　　

である。

【証明】

vを固定すると、z=f(x(u,v),y(u,v))はuの関数と考えることができるので、定理１２より

　　

同様に、uを固定すると、

　　

である。

（証明終）

行列を用いて書くと、

　　

 

問２　z=f(x,y)において、直交座表x、yをx=rcosθ、y=rsinθによって極座標r、θに変換するとき、次の関係が成り立つことを示せ。

　　

【解答】

（１）

　　

 

（２）

　　

 

（解答終）

 

（２）は、ラプラスの方程式を極座標に書き換えたもので、

　　

と書いたほうが覚えやすいのかもしれない。

 

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