第１５回 ２変数関数の極値の計算例

第１５回　２変数関数の極値の計算例

 

偏微分を用いて２変数関数の極値を求める前に、極値に関する定理を再掲する。

 

定理１５

関数f(x,y)が偏微分可能なとき、点(a,b)で極値を取るならば

　　

である。

 

定理１６　（極値の判別式）

f(x,y)は領域DでC²級の関数とする。(a,b)をf(x,y)の停留点とし

　　

とおくとき、次のことが成り立つ。

（ⅰ）　D>0のとき

　　ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小、

　　ならば、f(x,y)は点(a,b)で極大となる。

（ⅱ）　D<0のとき、f(x,y)は点(a,b)で極大でも極小でもない。

（ⅲ）　D=0のとき、２階の偏微分係数だけからは判定できない。

 

なお、定理１６に登場する停留点とは、である点を停留点のことである。

 

 

問題　次の関数の極値を求めよ。

 

【解】

（１）　より、停留点は(0,0)である。

　　だから。

したがって、f(x,y)は(0,0)で極小で、f(0,0)=(0,0)が極小値である。

 

（２）

　　

①と②を加えると

　　

y=−xを①に代入すると、

　　

よって、停留点は(0,0)、(√2,−√2)、(−√2,√2)である。

　　

(x,y)=(√2,−√2)、(−√2,√2)のときだからとなるので極小、極小値は−8。

(0,0)のとき、D=0となり、２階偏微分係数を用いた極値の判定は出来ない。

　　

したがって、(0,0)は極値ではない。

 

（３）　

したがって、停留点は

　　

②よりy=0、x=1。

y=0を①に代入すると、x²–2x=x(x–2 )=0より、x=0、2。

x=1を①に代入すると、y²–1=(y+1)(y–1)=0よりy=±１。

よって、停留点は(0,0)、(2,0)、(1,1),(1,−1)。

　　

よって、(0,0)のとき、だからとなり、f(x,y)は(0,0)で極大、極大値はf(0,0)=−1になる。

(2,0)のとき、だから、f(x,y)は(2,0)で極小、極小値はf(2,0)=−5。

(1,1)、(1,−1)のとき、だから、極値ではない。

 

（４）

　　

したがって、

　　

②より

　　

これを①に代入すると、

　　

②にy=1を代入すると、x=1。

したがって、停留点は(1,1)。

　　

よって、f(x,y)は点(1,1)で極小で、極小値はf(1,1)=3である。

（解答終）

 

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