関係式f(x,y)=0で定まるC¹級の陰関数

関係式f(x,y)=0で定まるC¹級の陰関数

 

f(x,y)を

 　　

とする。

原点(0,0)の近傍で、関係式f(x,y)=0が定めるC¹級の陰関数y=φ(x)について考えることにする。

　　

だから、原点(0,0)ではとなり、陰関数定理からC¹級の陰関数y=φ(x)の存在の有無を確かめることはできない。

そこで、次のようにyについて解き、

　　

としてみる。

しかし、このように定めると、下図を見ると明らかなように、x=0で曲線y=φ₁(x)、y=φ₂(x)ともに尖っており、x=0で微分可能ではなく、ともにx=0の近傍でC¹級ではない。したがって、この関数は、x=0でf(x,y)=0が定めるC¹級の陰関数y=φ(x)ではない。

しかし、

とすると、このどちらもx=0で微分可能であり、また、x=0の近傍で滑らかな曲線になっているので、C¹級ということになる。

また、この陰関数を曲線y²=x²(x+a)の２つの枝に選ぶと、曲線y²=x²(x+a)は原点(0,0)において接線を２本引くことができる。

この他にも、この問題の場合、x=0のときに陰関数が極値になるかどうかの違いが出てくるので、注意が必要である。