第２２回 包絡線

第２２回　包絡線

 

αをパラメータとして含む曲線群

　　

の各曲線と１点だけで接する曲線を、この曲線族の包絡線という。

 

f(x,y,α)をC¹級とする。曲線群と包絡線の接点を(x,y)とすると、xとyはαの関数である。

これを

　　

とする。

（１）と（２）は接するのだから、

　　

また、φ(α)、ψ(α)はf(x,y,α)=0上の点だから

　　

これをαで微分すると、

　　　　

よって、包絡線は、２曲線

　　

の交点（φ(α),ψ(α))=0の軌跡であり、この２式からαを消去した方程式の曲線Cに含まれる。そして、曲線Cは曲線群の特異点を含むことがある。


例

　　

この場合、はx–α=0。よって、x=αのときy⁴–y²=0となりy=0、±1となるが、点(α,0)は特異点（結節点）なので、直線y=0は特異点(α,0)の軌跡。したがって、包絡線はy=±1である。（右図参照）

 

 

問題１　次の曲線群の包絡線を求めよ。

　　

【解】
（１）

　　

①の両辺をαで偏微分すると

　　

①の両辺を②乗すると、

　　

よって、包絡線は放物線y²=4x

 

（２）

　　

①の両辺をαで偏微分すると、

　　

①と②を２乗して足すと

　　

よって、包絡線は原点を中心とする半径pの円である。

 

（３）

　　

をαで偏微分すると、

　　

したがって、

　　

x=−1は包絡線であり、x=0は特異点の軌跡。

（解答終了）

 

　　

とすると、

　　

したがって、(0,α)は特異点である。

また、

　　

よって、(x,y)=(0,α)において

　　

よって、(0,α)は結節点で接線は２本引ける。

 

 

問題２　次の包絡線を求めよ。

（１）　円x²+y²=r²のy軸に平行な弦を直径とする円の曲線群

（２）　座標軸で切り取られる部分の長さが一定である曲線群

【解】

（１）　弦の両端をA、B、その中点をCとし、C(α,0)とする。

三角ACOは直角三角形だから、ABを弦とする円の半径ACは

　　

よって、円の方程式は

　　

αで偏微分すると、

　　

これを①に代入すると、

　　

 

（２）　直線の方程式を

　　

とすると、条件より

　　

①をαで偏微分すると、

　　

②をαで微分すると

　　

③に代入すると、

　　

とおくと、

　　

これを①に代入すると、

　　

②に代入すると、

　　　　

④を②乗したものと⑤の辺々を掛けると、

　　

よって、アステロイドになる。

（解答終了）

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