関数空間と距離の初歩の初歩

関数空間と距離の初歩の初歩

 

Cを有界閉区間[a,b]で連続な関数のすべてを集めた集合とし、記号C[a,b]で表すことにする。

fとgを[a,b]で連続な関数とすると、

　　

だにゃ。

そうすると、[a,b]で

　　

は連続だから、｜f(x)−g(x)｜は[a,b]で最大値を必ずもつ。

そこで、

　　

と、d(f,g)を定義する。

（１）式のは、[a,b]での関数の最大値のこと。

 

さてさて、（１）のように定義すると、

　　

また

　　

であることは明らかだろう。

さらに、

　　

も明らかだろう。

h∈C[a,b]とするとき、三角不等式から

　　

したがって、

　　

 

つまり、（１）のように定義すると、次の距離の公理をすべて満たす。

 

　

（１）式で、有界閉区間[a,b]で連続な関数の距離を定義できるというわけ。

 

また、距離の公理の条件（ⅰ）〜（ⅲ）を満たすものならば、どれを距離に選択してもよい。

 

オレは（１）式の距離の定義は嫌いだ。だから、f,g∈C[a,b]の距離を

　　

と定義したい。

 

いいにゃ、いいにゃ、素晴らしいにゃ。

　――ただし、（２）を使いたいならば、（ⅰ）〜（ⅲ）を満たしていることを証明してから使うこと！！――

 

我々が通常、距離と呼ぶものは、ユークリッド距離と呼ばれるもので、数ある距離の一つにしか過ぎない。

問題１　[0,1]で定義された関数f(x)=x²とg(x)=xがあるとする。（１）式で定義された距離d(f,g)を求めよ。

【解】

[0,1]ではx²≦xだから、

　　

したがって、x=1/2のとき、最大値は1/4。

よって、fとgの距離d(f,g)は

　　

（解答終）

 

問題２

（１）　閉区間[0,1]で定義される関数f、g,hが、f(x)=x²、g(x)=x、h(x)=x³であるとき、

が成立することを確かめよ。

（２）　次のことを証明せよ。

　　

 

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