テンソルの問題とその解答（？）

問題　をテンソル、をベクトルとするとき、次が成り立つことを示せ。

（１）　はスカラーである。

（２）　２次形式の値は直角座標の変換によって変わらない。

【略解】

（１）　とおけば、これはベクトル。

　　

したがって、これはスカラーである。

 

（２）　（１）より、これはスカラー（不変量）。よって、直角座標の変換によって値は変わらない。

（略解終）

 

 

ちなみに、をベクトルとするとき、

　　

がスカラーになることは、次のように証明すればよいだろう。

 

直角座標の変換によって

　　

になるとする。

　　

となり、直角座標の変換によって値は変わらない。

よって、

　　

はスカラーである。

 

ベクトルuとvを、直交座表系O-x¹x²x³から直交座表系O-x'¹x'²x'³に

　　

と書き換えただけで、uとvそのものが変わっているわけじゃ〜ない。

uとvの大きさ、そして、この２つのベクトルのなす角θは変わっていないのだから、どの直交座標系であろうが、

　　

は不変！！

したがって、アタリマエのことを言っているに過ぎない。

 

そして、幾何的にアタリマエのこのことを、代数的に証明したということになる。

 

ということで、空間中にどのような直交座標系を設定し、それをもとにuとvを

　　

と表し、これをもとに、その内積u・vを

　　

と計算してよいということになるんだにゃ。

 

なお、⑨を用いてベクトルuとvの内積を計算できるのは直交座標系のとき。たとえば、x¹、x²、x³軸が互いに直交していない（斜交）座標系ではこうはならないので、この点は注意。

 

タグ：テンソル