第1回 極限ですにゃ

ネコのために、ネコ騙し数学：微分積分をやるにゃ。

人間向けじゃないんだにゃ。猫による、猫のための、猫の数学なんだにゃ。

ネコ騙し数学なんですにゃ。

 

第1回目は、極限なんですにゃ。

ｘがaに近づけば、関数f(x)がどんな値に近づくか、というのが極限なんですにゃ。

このときの「どんな値」を極限値といいますにゃ。

これですと、抽象的でわかりくいと思いますので、具体的な例をあげて説明しますにゃ。

 

例1

ｘが1に近づくと、はどんな値に近づくか、わかりますかにゃ。

ネコでも、この時、が1に近づくということはわかりますにゃ。

これを数学の記号で書くと

とか

と書きますにゃ。

極限というのは、これだけのことなんですにゃ。

 

なんだ、

じゃないか！！

なんて思うと、怪我しますにゃ。死んでしまいますにゃ。

　―――これは「x=aで関数f(x)が連続である」ことを意味します。図形的な表現をすると、曲線がx=aで切れないでつながっていることを意味します。極限値は関数の曲線が切れていても存在出来る！！―――

 

例2

のとき、

はいくつかですかにゃ。

0ですかにゃ、それとも1ですかにゃ。

これは難しいですにゃ。

ｘが1/2に左から近づくか、右から近づくかによって、値が違ってしまいますにゃ。左側から近づくと0で、右側から近づくと、1ですにゃ。困りましたにゃ。

仕方がないので、

　　・・・左側極限

　　・・・右側極限

と書きますにゃ。

この場合のように、左側極限と右側極限が違うとき、極限値は存在しないんですにゃ。

こういう場合もあるんですにゃ。

 

実は、ここがポイントなんですにゃ。

ｘがaという値に左側から近づこうが、右側から1近づこうか、近づき方に関係なく、有限の値を一つもつ時にのみ、極限値は存在するんですにゃ。

極限値が存在するというのは、左側極限と右側極限の値が一致するときなんですにゃ。

のときなんですにゃ。

となるんですにゃ。

 

厳密なことを言いますと、ちょっと違いますけれど、この時

、

が成立するんですにゃ。

 

これで第1回、終了ですにゃ。

 

ここから、ちょっと呪文を書きますにゃ。呪文ですから、ネコには理解できませんにゃ。

が成立するとき、ｂを極限値という。

 

この呪文を第2回で解説する予定ですにゃ。

 

これ、使わないと、極限の公式を証明できないので、我慢して欲しいにゃ。

も証明できないにゃ。

タグ：微分積分 極限

コメント 4

　次が分かりません。

　◇　～～～～～～～～～～～
　なんだ、
　【この数式は　出ません】
　じゃないか！！
　なんて思うと、怪我しますにゃ。死んでしまいますにゃ。
　―――これは「x=aで関数f(x)が連続である」ことを意味します。図形的な表現をすると、曲線がx=aで切れないでつながっていることを意味します。極限値は関数の曲線が切れていても存在出来る！！
　―――
　☆　f(a) = a^2 ではないのですか？

　もしそうであるなら　《連続か切れているか》を何故問題にする（できる）のですか？


　こんな質問でもいいのですか？
by bagelone (2015-02-18 14:25) 

極限の場合、
関数ｆはx=aの近く（数学の用語でいいますと「aの近傍」）で定義されているだけでよく、
関数fがx=aで定義されていなくてもいいんですよ。

たとえば、
　f(x) = sin(x)/x
という関数があるとします。
x=0のとき、この関数ｆ(x)は0/0になりますので、数学の大原則「０で割ってはいけない」に違反します。
ですから、この関数が定義されているｘの範囲、定義域からx=0という点が除外されます。
ですから、
このx=0という点でf(x) = sin(x)/xは切れている、連続していない、不連続になります。

しかし、
　lim[x→0]sin(x)/x
は存在するんですよ。
これは、三角関数の微分をやるときに証明するつもりなのですが、
この値は１になります。
　lim sin(x)/x = 1

極限や極限値を議論するとき、x = aで関数を定義しないほうが便利でより一般的な理論を構成できる。
だから、わざわざx=aを除外し、x=aの近傍の振る舞いだけを問題にする。

でですね、
　x→0のとき、sin(x)/x→1
になるので、
本当は
　f(x) = sin(x)/x
はx=0で定義してはいけないんだけれど（０割り禁止の大原則！！）、
この極限値である１をもって、
　f(0) = sin(0)/0 = 1
と再定義する。
こういう風に、極限をもって、連続していない点、不連続の点を除去できる場合もあります。
こういう関数の不連続点を「第1種の不連続点」とか「除去可能な特異点」と呼んだりします。

ただし、
　f(x) = 0,　　　(0≦x≦1/2の場合）
　f(x) = 1,　　　（1/2<x≦1の場合）
のｘ=1/2は、除去できない不連続点です。これは本質的な不連続点なので。
で、この場合、
　左側極限　lim[x→1/2-0] = f(1/2) = 0
は成立します。
ですが、右側極限
　lim[x→1/2+0] = 1 ≠ f(1/2) = 0
なので、
　lim[x→1/2-0]f(x) ≠ lim[x→1/2+0]
となって、x=1/2の極限値は存在しない、となります。


☆　f(a) = a^2 ではないのですか？
◇これは、f(x) = x^2が、x=aで連続だからです。
f(x) = x^2は実数全部の領域で「連続」だから、左側極限と右側極限がつねに一致します。
この場合、
　lim f(x) ≠ f(a)
という病的（？）な現象は起きません。

ということで、「関数が連続であるか、連続でないか」は非常に重要。
by nemurineko (2015-02-18 15:22) 

　連続・不連続が先に決まっているということですか？
by bragelone (2015-02-18 17:40) 

☆連続・不連続が先に決まっているということですか？
◇関数を定義したときには、その関数の連続・不連続が既に決まっている、となりますかね。

ですが、微分・積分で扱うのは、連続した関数だけなので、あまり神経質になる必要もないと思います。
微分できる関数は、かならず連続ですし、
連続した関数でないと積分を定義することがちょっと難しいので。

このあたりの話をしだすと、
あの《カントールの対角線論法》の話なんかが出てくるんですよ。
「有理数より、無理数の方がずっとずっと一杯ある」
なんて話が出てきます(^^ゞ
関数の不連続の点が高々可算個（最大でも自然数の無限大個）程度なら、
「ほとんど連続だ」
なんて、非常におおらかな数学もあります(^^♪
by nemurineko (2015-02-18 19:28)