第2回 アブラカタブラ・ε‐δ論法

第2回目は、アブラカタブラ・ε‐δ論法ですにゃ。

有名大学の理系学生さんであっても、死ぬほど分かりづらいといわれるε‐δ論法ですにゃ。

みんなこれに泣かされるんですにゃ。

そして、ほとんどの人が玉砕しますにゃ(^^ゞ

ε‐δ論法の嵐が過ぎ去るまで、死んだふりをしますにゃ、冬眠しますにゃ。 

 

前回、

というのをやりましたにゃ。

ｘが1に近づけば、x2が1に近づくというのは、ほとんど自明ですにゃ。だから、これを証明しろといわれたら、困ってしまいますにゃ。

ですが、アブラカタブラ・ε‐δ論法を使うと、証明できますにゃ。

もっと、一般的に

でやってみますにゃ。

 

　　（どうして文字がピンクになる？変だな～(・・?）

で、だから

ならばになるので、

それで、

にとれば、

が成立する。

うるさい人には、ネムネコのように細かくて重箱突きが好きな奴には、

これでも喰らいやがれと、

と書いて黙らせるてやるんですにゃ。

 

アブラカタブラの呪文だから、何を書いてあるか、わからないにゃ。

これで、理系学生のほとんどすべての人が死んでしまいますにゃ。

何が書いてあるかわからないけれど、試験のためには、これを丸暗記するしかないですにゃ。

 

前回ご紹介したアブラカタブラε‐δ論法の呪文をもう一度あげますにゃ。

これを人間的な数学語に翻訳すると

 

aの近くで定義された関数f(x)において、任意の正の数εに対して、適当な正の数δを決めると、

のすべてのｘについてとなるならば、

これを

のとき；あるいは

という記号で表わし、この場合、のときf(x)はｂに収束するという。また、ｂをのときのf(x)の極限値という。

となりますにゃ。

 

ますますわからなくなりますにゃ。

これもまったくチンプンカンプンのアブラカタブラですにゃ。

 

これをネコ騙し数学語に翻訳しますと、

を満たすどんな正の数εをとっても、εの値が決めちゃえば、

⇒

を満たすδが自動的に決まる、ってことなんですにゃ。

だから、このことをわかりやすくするために、みたいに書くこともあるんですにゃ。

 

これでもまだピンとこないと思いますにゃ。だから、具体的な例をあげますにゃ。

　のとき、になるのは、ネコでもわかりますにゃ。

これをアブラカタブラε‐δ論法で書くと

となるにゃ。

εは任意の正の数だから、とりあえず、1でも2でも、0.1でも0.01でも好きなのを選んでいいんですにゃ。そうすると、δの値が自然と決まるということですにゃ。

とおけば、δはεによって決まるんですにゃ。

にとればいいんですにゃ。

このδのとり方はあくまで一例にすぎないにゃ。

すこし混乱するかもしれないけれど、

でもいいですにゃ。

これでも、

とちゃんと条件を満たしていますにゃ。

 

 

これがアブラカタブラ・ε‐δ論法の心ですにゃ。

εの値をどんどん小さくすれば、つまり、f(x)が極限値bに近づけば近づくほど、

これに応じてδも小さくしなければならない、ｘをaに近づけてやらなければならない！！

ということなんですにゃ。 

このイメージが大切なんですにゃ。

このイメージさえしっかりつかんでいただければ十分ですにゃ。

 

次回は、このε‐δ論法を使って、極限の公式の幾つかを証明する予定ですにゃ。

 

ちなみに、今回のニャンコ話には、

という不等式の公式を使っています。

この不等式は、三角不等式といって、数学で最も大切な不等式の一つです。

記号「⇒」は、「ならば」を意味します。 

 

ここにでている記号や、ここが分かりづらいというところがありましたら、遠慮することなく、コメントに書いてください。

答えたいと思います。

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