第9回 平均値の定理

第9回　平均値の定理

 

微分の中で重要な「平均値の定理」が今回のテーマですにゃ。

平均値の定理は、関数の増加、減少などを論ずるためにどうしても必要な定理なので、これはどうしても避けて通れないですにゃ。

 

まず、

平均値の定理の証明に必要な「ロールの定理」を証明しますにゃ。

 

ロールの定理

「a≦ｘ≦ｂで連続、a<ｘ<bで微分可能な関数fがならばを満たすｃがa<c<bに存在する」

というものですにゃ。

 

前に「連続な関数ｆは閉区間でかならず最大値、最小値を持つ」という最大・最小値の定理を紹介したにゃ。これを使って、ロールの定理を証明するんだにゃ。

ならば、この微分は常にゼロなので、ロールの定理を満たすににゃ。a < x < b のｘのどれをｃにとってもいいですにゃ。

で、でないならば、ｆは、と異なる最大値か最小値のどちらかを持つにゃ。

で、

と異なる最大値をもつ場合をやると、

図のようにx＝ｃで最大値ｆ(c)を持つとき、

a < x ≦c ならば　,

なので、

∴　

c≦x<bならば、なので、

∴

よって、

最小値の場合は、省略。

不等号の向きが違うだけで、基本的に同じですから。

 

「ちょっと、待て、バカ猫！！　①は左側微分係数で、②は右側微分係数だろう。いいんか、これで！！」

「ネムネコのように細かい野郎だな。そんなんじゃ女にもてないぞ。それに、だから、いいんだよ、これで！！」

では、平均値の定理。

 

平均値の定理

ｆがa≦ｘ≦ｂで連続、a < ｘ< bで微分可能ならば、

を満たすcがa < c < bに存在する。

【証明】

と置き、

を満たすｋを求めると、

φはa≦ｘ≦ｂで連続、a < ｘ< bで微分可能、しかも、なのでロールの定理が使えます。

φを微分すると、 

となり、

φ’(c) = ｆ’(c) - k = 0

となるｃが a < c < b に存在する。

よって、

 

で、この定理は何を言っているかといいますと、(a,ｆ(a))、(b,ｆ(b))を通る直線と同じ傾きを持つｆの接線をa<x<b

の間で少なくとも一本引けるということですにゃ。

このことは図を見てもらえるとよく分かると思いますにゃ。

 

さらに、

f(x)がa≦x≦ｂで連続、a<x<bでならば、f(x)はa≦x≦ｂで増加関数である

ということがわかりますにゃ。

とすると

を満たすcがに存在し、なので

同様にして、ならば減少関数。

が0より大きいか、小さいかで、その関数が増加しているか、減少しているかがわかりますにゃ。

これはかならず成り立ちますにゃ。

 

なお、

狭義単調増加関数とはが常に成り立つ関数で、狭義単調減少関数はのことで、

この二つを合わせて狭義単調関数と呼んだりしますにゃ。

 

ネムネコとしては、ここから一気に極大・極小の話に移りたいのですが、

微分・積分の本を読むと、ここから幾つか定理が挙げられているので、不本意ながら（これは要らないんじゃない？）、これらの定理を挙げます。

 

定理A　関数f(x) がx = a で微分可能であり， f′(a) > 0 ならば， f(x) はx = a で増

加の状態にあり， f′(a) < 0 ならば， f(x) はx = a で減少の状態にある．

 

証明

であるから、が十分小さければ、

したがって、

h > 0ならば、

h < 0ならばである。

つまり、f(x)はx＝aで増加の状態にある。

 

 が十分小さければ、

の部分が曖昧にゃ。

何でこれが成立するか、わからないにゃ。

論理が飛躍しているにゃ(^^ゞ

 

これはこういうことを言っているんでにゃ。

だから、

εは任意、つまり、どんな値でも構わないので

と置くと、

を満たすδがある。

をこのδよりも小さくとれば、とは同符号だ！！

x＝aの近く（aの近傍）ではとは同符号だ」ということを言っているのであった。

ε‐δ論法を長々と述べたのは、こういうところをハッキリさせるためだったんだにゃ。 

 

そして、極大と極小の定義

 

a の近傍のすべてのx においてf(x) < f(a) のとき， f(x) はx = a で極大(localmaximum)， f(x) > f(a) ならばf(x) はx = a で極小(local minimum) であるといいます．また， f(a) をそれぞれ極大値，極小値といい，両方をあわせて極値(extrema) といいます．

 

が続き、

 

 

定理B 関数f(x) がx = a で微分可能で，かつこの点で極値をとれば， f′(a) = 0 である．

証明

もしf′(a) > 0 ならば，関数f(x) はx = a で増加の状態にあり，またf′(a) < 0 ならば，関数f(x) はx = a で減少の状態にある．したがって，どちらの場合にもf(a) は極値にならない．ゆえにf′(a) = 0 でなければならない．

 

とくる。

 

そして、こう結ぶ。

 

定理C 関数f(x) はx = a の近傍で連続で， h(> 0) は十分小さいとする．

(1) (a − h, a) ではf′(x) > 0, (a, a + h) ではf′(x) < 0 であるならば， f(x) はx = a で極小になる．

(2) (a − h, a) ではf′(x) < 0, (a, a + h) ではf′(x) > 0 であるならば， f(x) はx = a で極大になる．

(3) f′(x) がx = a の前後で符号を変えなければ， f(a) は極値でない．

証明 f(x) は区間[a − h, a] では狭義の単調増加関数，区間[a, a + h] では狭義の単調減少関数になるから， f(x) はx = a で極大になる．その他の場合の証明も同様にできます．

 

以上、

広島工業大学の『微積分学入門』の講義ノートからの引用です。

 

大学の数学の先生が「要る」と言うのですから、たぶん、「要る」んでしょう(^^ゞ

それから、定理Cの「x = a の近傍で連続」は余計です。微分可能ならば連続なので、書くならば連続ではなく、微分可能とすべきところです。

 

長々と引用しましたが、言っていることは、

　１　極値をとるところx＝aで（微分可能ならば！！） 

　２　極値をとるｘ＝aの前後でｆ'(x)の符号が変わる

　３　ｆ'(x)が＋から－になるところは極大、－から＋なら極小

の３点ですにゃ。

 

では、具体的な例で説明しますにゃ。

の極大、極小値を求めてみますにゃ。

 

極値をとるところではf'(x)＝0でなければならないので、

ですにゃ。極値をとるところの前後でf'(x)の符合が変わっていることを調べる必要があるので、増減表というものを書きますにゃ。

 

x	…	－1	…	1	…
f'(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↑	3（極大）	↓	－1（極小）	↑

 

斜めの矢印が出せないので、「↑」は「関数が増加状態」、「↓」は「減少状態」を表わしています。

 

グラフは

です。

 

なお、のような場合、

だから、x＝0で極値をとるなんてしてはダメですにゃ。y'≧0なので、ｘ＝0の前後でy'の符号が変わりませんから。こういうような点を変曲点と呼んだりしますにゃ。

 

の場合は、

だから、・・・。

ｆ(1)が、ｆ(-1)が…。

グラフを書きましたけれど、ちゃんと増減表を書いてくださいよ。

 

タグ：微分積分