第10回 微分と接線

第10回　微分と接線

 

『接線なんかやらなくてもいいかな』と思ったのですが、やっぱ、やらないわけにはいかないんだろうな。

図を作んなきゃいけないので、できたらやりたくないんだけど(^^ゞ

 

ある本（ネムネコが持っている本の一冊）の接線の定義

「ｙがaで微分可能なとき、ｙ＝ｆ(x)のグラフ上の点P(a,ｆ(a))を通る直線

をPにおける接線といい、Pで接線に直交する直線を法線という。」

 

この定義だと、ちょっとまずいんでしょうかね～。

例えば、円。原点を中心とする半径１の円の方程式はだから、

これを微分すると、

となります。

この式を見るとわかりますけれど、x＝±1で微分不可能になって、「x＝±1で円の接線は存在しない（？）」となってしまう。

ですが、x＝±1は間違いなく原点を中心とする単位円の接線。

 

「おいおい、この問題をどうするんだ」！！

 

悪知恵を働かせて逃げようとするならば、

だから、

これで許してもらえる？

それとも、

”「微分可能なとき」と書いてあるじゃないですか”と突っぱねる？

どうせ、ネコ騙しだし(^^ゞ

 

これで終わってしまうのなんですし、すこし問題でも解いてみますか。

 

【問題】

曲線

について

（１）曲線上の(3,－2)における接線の方程式を求めよ。

（２）傾きが2であるこの曲線の接線の方程式を求めよ。

【解答】

（１）

よって、接線の方程式は

（２）曲線上の傾き（微分係数）が2の点のｘ座標をaとすると、

a＝0の時のｙ座標はf(0)＝1

a＝4の時のy座標は

よって、

と

少し見にくいですが、グラフは

 

 

この勢いに乗って、さらにもう一つ。

 

【問題】　曲線に、点(3,1)から引いた接線の方程式を求めよ。

【解答】

 

x＝aにおける接線の方程式は、

だから、

これが点(3,1)を通るので

このaを②に入れて計算すると、

 

接線単独じゃ～、これといって面白くないし、早いけれど、今回はこれで店じまいしますか。

と思ったのですが、

前回の「平均値の定理」の復習をかねて、次の問題でも解いてみますか。

 

【問題】

ある区間においてf'(x)は微分することができて、で、かつ方程式が実根をもつものとする。このとき、αをその区間の実根の近似値とすればはαよりよい近似値となることを示せ。

【解答？】

γをの実根とすると

でおしまい(^^ゞ

 

 

平均値の定理より

を満たすｃがαとγの間にあって、仮定よりだから。

なお、「よりよい近似値」というのはということです。

 

これ、大昔に出た某国立大学の理系の大学入試問題。

 

ｆが微分可能で、といったような関数の差の形が出てきたら、「平均値の定理」が使えるということを憶えておくと、何かと便利ですよ。

たとえば、

だとすると、

という不等式を作ることができる。

cはですね。

ここで、

を使っています。

 

これがそのグラフでs。

このグラフから、この不等式が成り立っていることがわかります。

そして、

はｙ＝√xのｘ＝1の接線で、ｘ＝1の近く（近傍）でｙ＝√xのよい近似式になっているのであった。

 

接線と近似式の関係もいったし、平均値の定理の応用の仕方についても書いたし、これくらいでいいかな。

タグ：微分積分