第13回 ネイピア数e = ふな、一鉢、ふた鉢、しごく惜しい

第13回　ネイピア数e = ふな、一鉢、ふた鉢、しごく惜しい

何処を出発点として話し出したらいいのか困っている。

微積分の伝統に従い、ネイピア数からいきますか。

ネイピア数eとは

　　

という無理数のこと。

そして、

　　

というにn＝1,

10, 1000, 1000, 10000という数を入れて電卓で計算すれば、この値に近づいてゆく（収束する）ことがわかる。

まず、この数列が単調増加で有界であることを証明する。

有界な数列とは、

ある実数Mがあって、数列のすべての項に対して

　　

が成立する数列のこと。

そして、有界な単調数列（の収束）については、有名な次の定理がある。

定理　単調数列の収束

単調な有界数列は収束する。

単調数列とは、

　　

のような数列のこと。

数列が単調増加で、しかも

　　

や

　　

ならば、この数列は収束し、極限値をもつ。

これは公理みたいなものだから、証明は、いま、ちょっと勘弁してください。

これをやり出したら、話が際限なく広がってしまうので、

微分が終わったらやるであろう「数列の極限」のところで、お話します。

単調数列の収束定理がいわんとするところは、たとえば、

　　

ならば、この数列は3を越さない「ある数に収束する」ということです。

なぜ、3を選んだかというと、これから話すネイビア数に関係するからです。

では、本題。

　　

を展開すると、

　　

同様にを展開すれば、

　　

はより項の一つ一つ大きい上に、しかも、項が一つ多くあるので、

　　

が成立して、は単調増加である。

を展開式から

　　

である。

なぜならば、

　　

だからだ。

ここで、また、ワザを使う。

　　

だから、

　　

だから、⑨より

　　

だから、

　　

で有界。

単調増加で有界だから、この数列には極限値が存在する。

値はわからないけれど、この数列の極限値であるネイピアス数は確かに存在する！！

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