第１２回 問題演習３

第１２回　問題演習３

 

ε‐δ論法（ε‐N論法）を使って解く、有名な問題をご紹介しますにゃ。

 

問題１

 

そのまま証明してもいいのだけれど、証明を簡単にするために、

としますにゃ。

すると、証明すべきことは

になるんだケロ。

や

といったことから、このことがわかると思うケロ。

で、だから、

任意の正の数εに対して、n > m 

だけろ。

の最大値をAとすると、

で、 に関しては

つまり、

で、n を十分大きくとって

にすれば、

になるケロ。

よって、

になりますにゃ。

だから、


何か釈然としないものを感じるでしょう、

奥歯に何か物の挟まったような感じがするでしょうけれど、

これが証明なんだにゃ。

問題２

0 < r < 1 の実数r とある自然数ｍがあって、n > m のすべてのｎに対して

でるならば、

であることを示すケロ。

【解（？）】

となり、
0 < r < 1 で、そして、は定数なので、

となって、

 

 

問題３

で、0 < p < 1 であるならば、

であることを証明するケロ。

【解】

だから、0 < p < r < 1 の定数r をとると、n > m のすべてのn に対して

となる。

問題２と同じようにやると、

となり、0 < r < 1 だから、

となり、

このことより、

問題１と問題３の結果は、色々なところで使われますので、憶えておいて損はない！！

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