ねこ騙し数学 コーシー列

ねこ騙し数学　コーシー列

問題　次の式で表わされる数列がコーシー列になることを示し、極限値を求めるケロ。

 

この漸化式から数列の一般項を求め、それが収束することを示してもいいよ。

数列が収束すれば、コーシー列になるのだから。

だけど、を求めることなく、この数列がコーシー列であることを証明し、極限値を求めようじゃないか、という話しだにゃ。

その前に、表計算ソフトを使って、この数列の値を求めてみたにゃ 。

で、これが計算結果をグラフにしたもの。

極限値は5/3 = 1.666・・・になるのだけれど、結構、収束が速く、これくらいならば表計算ソフトを使わず、電卓で簡単に計算できるケロ。

表計算ソフトを使うならば、

B2セルとC2セルに初期値の1と2 を入れ、D2セルを「=(B2+C2)/2」とする。

で、B3セルは「=C2」、C3セルは「=D2」として、D3セルは「=(B3+C3)/2」とするか、D2セルをここに貼り付ける。

あとは、B3からD3セルをコピペするだけ。

これ見るとわかるけれど、この数列はで有界だけれど、単調でないことがわかるケロ。増加→減少→増加を繰り返しながら、5/3に向かって収束してゆくにゃ。

 

では、この問題を解くケロ。

の両辺からを引くと

になるので、は公比–1/2 で初項の等比数列。

だから、p > q に対して

で、

となるから、コーシー列になっている。

で、極限値は、

が収束するとき、その部分列も同じ極限値に収束するので、

 

 

宿題　次の式で表わされる数列の一般項を求め、その極限値を求めるケロ。

の値が違うからな。

解くと、

【答】 

 

B2セルの値を0、C2 セルの値を1 にすれば、こうなるにゃ。

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