第１５回 級数の定理

第１５回　級数の定理

 

復習をかねて、級数の収束について、もう一度、あらためて話しますにゃ。

 

数列が与えられたとき、をつくると、数列が得られ、このとき数列はを項とする級数というケロ。そして、この数列がある数s に収束するとき、級数は収束するといい、

と書き、このs を級数の和というケロ。

そして、

収束しないとき、は発散するといいますにゃ。

 

さらに、数列の収束に関するコーシーの定理。

定理９　（コーシーの収束条件）

数列が収束するための必要十分な条件は、数列がコーシー列であることである。

 

そして、コーシー列（基本列）の定義は

 

 

次の条件を満たす数列をコーシー列という。

任意のε > 0 に対して、次の条件を満たすm ∈ N が存在する。

 

 

 

で得られるも数列なので、が収束するとき、当然、コーシーの収束条件を満たしますにゃ。また、コーシーの収束条件を満たせば、は収束しますにゃ。

だ・か・ら、

 

定理１１

が収束するための必要十分な条件は、任意の正の数εに対して次のm ∈ N が存在することである。

 

本によっては、

となっているものもあると思いますが、これは表現の違いであって、意味するところは同じだにゃ。

そして、この定理１１を使うと、

が収束するとき、の証明は、

①の定義なら p = q ≧ m にすると、

②の定義なら p = q + 1 > q > m とすると、

となりますにゃ。

 

だから、①は、

任意の正の数εに対して、次の条件をみたすmが存在する。

と書いてもいいにゃ。

なお、このｐやｑは特定のひとつの自然数ではなく、p ≧ q ≧ m を満たすすべてのp やq だにゃ。

で、が収束するとき、この数列は有界じゃないといけない。

このあたりの話は、数列の極限の定理のところを読み返して欲しいにゃ。

正項級数
級数の各項がのとき、正項級数という。

すべての項がなのだから、数列は狭義単調増加だケロ。

なんだから。

そして、もし、正項級数が有界、つまり、上限を有するならば、有界単調増加の数列はかならず収束するのだから、も収束する。

定理１１

正項級数が収束するための必要十分な条件は、次の定数M > 0 が存在することである。

 

収束する正項級数の例としては、

などがあるにゃ。

そして、この場合は、

なので、M = 2とかにすればいいにゃ。

すべてのn に対してになっていることがわかるケロ？

そして、こういうMが存在すれば、かならず正項級数は収束するにゃ。

絶対収束と条件収束
が収束するとき、は絶対収束するという。は収束するが、絶対収束しないとき、は条件収束するという。

 

今すぐ、これは証明しないけれど、
条件収束するけれど、絶対収束しない例としては、

というのがあるケロ。

になるので、この級数は収束しないにゃ。

定積分のところでやったけれど、

だから、n → ∞ のとき、これが＋∞に発散するのがわかるケロ。

この級数のことを、よく「塵も積もれば、山となる」と形容しているにゃ（ポリポリ）。

 

絶対収束の定理としては、

 

定理１３

が絶対収束すれば、は収束する。

【略証】

は絶対収束するので、任意の正の数εに対して、次のｍが存在する。

で、三角不等式より

よって、は収束する。

コーシーの収束条件が如何に便利であるかわかるケロ。

定理１４

任意の自然数n に対してかつが収束すれば、は絶対収束する。

が収束するというのだから、有界だね。

さらに、、

なのだから、は単調増加。

有界で単調増加なのだから、は収束するにゃ。

よって、は絶対収束するんだにゃ。

 

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