ねこ騙し数学 漸化式と極限 [ネコ騙し数学]
ねこ騙し数学 漸化式と極限
問題 一般式が次のように表わされる数列
が収束することを示し、その極限を求めるケロ。
一見すると簡単そうな問題だけれど・・・。
例によりまして、表計算ソフトを使ってこの数列を計算してみたにゃ。
この表を見ると、10回も計算すれば、ほとんど収束してしまいし、電卓でも簡単に計算できますので、計算してみるにゃ。
表とこのグラフを見るとすぐにわかるけれど、これは単調減少列ではないにゃ。
なので、このままでは有界な単調数列は収束するという定理は使いないケロ。
なのですが、表を見ると、
nが奇数のとき減少
nが偶数のとき増加
することがわかるケロ。
つまり、
は単調減少列、
は単調増加列。
また、
このことより、は下に有界、
は上に有界。
よって、
の部分列、、はともに収束するにゃ。
その極限値をそれぞれα、βとすると、
となり、
よって、
は収束する。
計算結果から、こう予測できるケロ。
これはあくまで予測、推測だケロ。証明にはなっていないケロ。
ここは絶対に読むな。読むと呪われるケロ！！
この漸化式の一般項は求められないかというと、実は求められる。
の解をα、βとする。
同様に、
で、①÷②から
となる。
これを
について解けば一般項を求められるケロ。
ここで、
としている。
ネムネコはこれを計算するのが嫌なので、誰か一般項を求めて、ネムネコに教えてケロ！！
計算、間違っていないと思うが・・・。
【解（？）】
は明らか。
とおくと、
α > 1 より、 0 < 1/α < 1となり、
は
からほとんど明らかでしょう。
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