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第27回 ノルムと一様収束 [ネコ騙し数学]

第27回 ノルムと一様収束

 

ノルムの話をする前に、上限について復習しますにゃ。
集合Sの上限とは次の二つの条件を満たすものにゃ。

 1 ∀x ∈ S に対しx ≦ α

 2 ∀ε > 0 に対しα – ε < x をみたすx ∈ S が存在する

この二つの条件を満たすαを上限といい、 sup S = α 、あるいは

第27回 ノルムと一様収束_htm_7c5196fc.gif

と表わすんだケロ。

で、D定義された関数ffD →RS ⊂ D とすると、f(S) は実数Rの部分集合だから、上限が定義できるんだケロ。

関数の上限の場合はちょっと表記が違って

第27回 ノルムと一様収束_htm_514483d8.gif

と書くにゃ。関数における上限とか、関数fS上の上限とかいうにゃ。

第27回 ノルムと一様収束_htm_m7c82c06a.gif

というような関数があった場合、

第27回 ノルムと一様収束_htm_m572f3dcd.gif

といったふうに書くにゃ。ちなみにこの値はだにゃ。
この値が1になるのはわかるケロ?

第27回 ノルムと一様収束_htm_4ec791ef.gif

で、どんなε > 0 をとっても

1 – ε < x

を満たすx ∈ [0, 1] に存在するから。

じゃぁ、定義域を0 < x < 1 第27回 ノルムと一様収束_htm_m6958cc19.gifとしたとき、

第27回 ノルムと一様収束_htm_m6361ab64.gif

の値は?

1だよね。

第27回 ノルムと一様収束_htm_m433b3e0f.gif

だから。

そして、より小さな上界は存在しないので。

厳密なことをいうと違うけれど、関数の最大値だと思ってくんな。「当たらずとも遠からず」ですから。



ノルム

D
上で定義された有界な関数fのDにおけるノルムとは

第27回 ノルムと一様収束_htm_m68cb39a4.gif

で定義された実数のことである。

そして、一般に、Dを省いて第27回 ノルムと一様収束_htm_3a077858.gifと略記するんだケロ。

 

何でこんなノルムなんてものを、突然、言い出したかというと、このノルムを使うと、関数列第27回 ノルムと一様収束_htm_277dca7a.gifの一様収束は、次のように言い換えられるからなんだケロ。


定理 D上で定義された関数列第27回 ノルムと一様収束_htm_277dca7a.gifに対し第27回 ノルムと一様収束_htm_m47925088.gifが一様収束する必要十分な条件は

第27回 ノルムと一様収束_htm_4aa35ae1.gif

である。


この定理は上限の定義からほとんど明らかだから、証明しないケロ。

で、この定理を使うと、

 

例1 つぎのように定義される関数列をかんがえると、

第27回 ノルムと一様収束_htm_41b59b9b.gif

の極限関数ff(x) = 0 だケロ。

を固定して考えると、関数第27回 ノルムと一様収束_htm_10cfe48a.gifの最大値はx = 1 のときで、1/nだケロ。

よって、

第27回 ノルムと一様収束_htm_4732a18a.gif

となるケロ。

で、n → ∞にすると

第27回 ノルムと一様収束_htm_m23debd53.gif

になるから、この関数列はに一様収束することがわかるケロ。



ちなみに、これは次のように収束してゆくにゃ。
第27回 ノルムと一様収束_htm_48e5c6c6.gif

これに対して、第25回の問題1のような

第27回 ノルムと一様収束_htm_mbddc287.gif

は、

第27回 ノルムと一様収束_htm_4edf8dd8.gif 


極限関数f(x) = 0 となるので、この図からあきらかなように、

第27回 ノルムと一様収束_htm_m1172b7be.gif

となり、これはn → 0 のとき、にならないにゃ。だから、一様収束じゃないことがわかるにゃ。


じゃぁ、第24回の問題1

第27回 ノルムと一様収束_htm_68590e18.gif

は・・・。

これは第27回 ノルムと一様収束_htm_10cfe48a.gifが有界じゃないから、そもそも、この定理は使えないにゃ。

この極限関数はf(x) = x だから

第27回 ノルムと一様収束_htm_2c8d145f.gif

となり、

を固定して、-∞ < x < ∞ で考えると、

第27回 ノルムと一様収束_htm_45ae8438.gif

になるので、ノルムを定義できないにゃ。

第25回の例1

第27回 ノルムと一様収束_htm_6a4a66d4.gif

は、極限関数f(x) = 0

よって、

第27回 ノルムと一様収束_htm_1c03881c.gif

n → 0 とすると、これはになるケロ。だから、これは一様収束することがわかる。

まぁ、今回はこんな話にゃ。

 

こういうのは、感覚的にとらえた方がわかりやすいと思いますにゃ。


第27回 ノルムと一様収束_htm_a02a8c2.giff(x) の違いが一番大きいところの範囲の中に、第27回 ノルムと一様収束_htm_m4b12bb37.gifはすべて入るだろ。

で、

n → ∞にしたとおき、第27回 ノルムと一様収束_htm_m4b12bb37.gifの上限(上限がピンとこないなら、最大値でいいわさ)がに限りなく近づけば、それは一様収束ってことだわさ。

 


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