第10回 触点と閉集合 [ネコ騙し数学]
第10回 触点と閉集合
Aを距離空間Xの部分集合とする。で、Xの点aについて、どんな正の実数εに対して
が成り立つとき、aをAの触点という。Aの触点全体の集合をAの閉包といい、やなどで表す。
で、Aの点はもちろんAの触点なので
そして、閉包と開核、境界の間∂Aのには
という関係が成り立つ。
で、
のとき、Aを閉集合という。
ここで、さり気なく次の問題を解く。
問題 <X,d>を距離空間、Aをその部分集合とするとき、次のことが成り立つことを示すケロ。
【解】
これを見てわかる奴のほうがどうかしている(^^ゞ
だから、証明はわからなくていいケロ。
なのですが、
(1)は閉集合の補集合は開集合
(2)は開集合の補集合は閉集合
ということを示しているんだケロ。
これ以上、話を進めると、位相になってしまうんで、これ以上の話はしないケロ。
微分・積分くらいだと、
(a,b)は開集合、[a,b]は閉集合、
は開集合、やは閉集合、y=f(x)が連続ならば、
、は開集合、、、は閉集合
と覚えておけばいいわさ。不等式で表される領域は開集合で、等号がついていれば、閉集合ってことだわさ。
これで十分だケロ。
で、開集合の補集合は閉集合と言ったろ。
の補集合はだから、は閉集合。
そして、この逆もしかりだにゃ。
で、開集合Aと開集合Bの和集合A∪B、積集合A∩Bも開集合になる。
そして、これにド・モルガンの法則を使うと、
になる。
A∪Bは開集合だから、この補集合は閉集合。そして、とも閉集合だから、との交わり、積集合になる。だから、閉集合と閉集合の積集合は閉集合。
同様に、閉集合と閉集合の和集合も閉集合になる。
2015-07-16 12:00
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