第２６回 コーシーの積分定理の系

第２６回　コーシーの積分定理の系

前回、領域D内で正則な関数f(z)が、領域の中にある閉曲線Cにそって積分するとその値が０になる、つまり、
　　
というコーシーの積分定理をやりましたにゃ。

今回は、このコーシーの積分定理の系をやりますにゃ。この系を知るだけで、積分できる関数がずっと増えるというありがたいものだケロ。

系１
Cは領域Dの中にある閉曲線であり、はCの内部にあって、かつ互いに他の外部であるような閉曲線である。さらに、Cとで囲まれた領域およびその境界はDに含まれている。f(z)が領域Dで正則であるとき、次の等式が成り立つ。
　　

この文章を読んでも何を書いているか分からないと思うので、図を加えるにゃ。

ここで、いちいち、と書くのは面倒なので、と略して書くことにするにゃ。

n=2の場合で証明するにゃ。

【証明】



図のように積分路kl、ｍｎ、ｐｑを付け加えると、２つの閉曲線qgklrmntpqとkhqpunmslkと沿う積分にはコーシーの積分定理が適用されるから、

　　

である。

よって、
　　
kl、ｍｎ、ｐｑに沿う積分は反対のものであるために互いに打ち消される。
　　

「ｋｌ、・・・に沿う部分は反対のものであるために互いに打ち消される」を補足すると、
　　
ということ

積分路には向きがあるので、こういうことになる。


では、この系を使って、次の問題を解いてみることにするにゃ。

問題
を正の方向に取るとき、
　　
を求めよ。

【解】

　　
であるから、f(z)はz=0、1を除き正則。

を、円の中心がOで半径、円の中心が１で半径とする。ただし、。

こうすると、は共有点を持たず、しかも、Cの内部にある。



よって、コーシーの定理の系１より、

　　

それで、はの内部で正則、はの内部で正則だから、コーシーの積分定理より

　　
となる。

そして、
　　
なので、
　　
となる。

中心α、半径ｒとする円周
　　
とすると、

　　

というのは、やったにゃ。

　　
となるからだにゃ。

系２（積分路変形の原理）
f(z)は領域Dで正則とする。D内の２点をそれぞれ共通の始点と終点するD内の２つの曲線、があるとき、D内で連続的に変形（f(z)を正則な点のみを通じて連続変形）してと一致させることができるならば、

　　
【証明】
のいずれとも以外に共有点を持たず、からに至る曲線を考える。
ただし、がともにDの内部に含まれるものとする。



ともに単一閉曲線だから、コーシーの積分定理より
　　
となり、

　　
同様に、

　　
よって、
　　

ちなみに、この記事の中の図で斜線部や網掛けの部分は、f(z)が正則かどうかは分からない領域だにゃ。

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