第２９回 正則関数の微分可能性

第２９回　正則関数の微分可能性

定理　f(z)は領域Dで正則とする。そのときf'(z)はDで正則であり、したがって、f(z)は何回でも微分可能である。また、微分は次の公式で与えられる。
　　
ここに、Cはｚを含み、その周およびその内部がDに含まれる単一閉曲線である。

【証明】
コーシーの積分公式からCはｚを中心とする半径ｒの円としてよい。さらに、ｈを｜ｈ｜<r/2とする。
　　
よって、
　　
となる。
C上の｜f(ζ)｜の最大値をMとすると、｜f(ζ)｜≦M、｜ζ–z｜=r、｜ζ–z–h ｜≧r/2となるので、
　　
　　
となる。

で、h→0とすれば、

　　

になる。

つまり、

　　

となる。
あとは、数学的帰納法でチョメチョメ・・・(^^ゞ

ではあるのだが、

　　
の両辺をｚで次々と微分すれば、この公式は出てくるにゃ。
　　

で、n=kのとき

　　

として、これをｚで微分すると、積分の中は

　　

になるので、

　　

となり、n=k+1でも成立することが分かるにゃ。

証明の中身はわからなくてもいいにゃ。
知ってほしいのは、複素関数は１回微分可能ならば、何回でも微分できるということであり、

　　
という結果だにゃ。

では、問題を。

問題　次の積分の値を求めよ。ただし、各閉曲線は全て正の方向とする。

　　

【解】

　　

とすると、これは正則だから、

　　

となるケロ。
で、

　　

これを代入すると、
　　
となる。

モレラの定理　（コーシーの定理の逆）

f(z)が単連結領域で連続であって、D内の任意の閉曲線Cに対して
　　
であるとき、f(z)は正則である。
【証明】
として、Dに対しての関数
　　
が積分路によらず定義が可能。そして、F'(z)=f(z)となる（※）。
よって、F(z)は正則であり、その導関数f(z)もDで正則になる。

（※）

　　

f(ζ)は連続なので、任意の正数εに対してある正数δが存在して

　　

ということで、

　　
ちょっと粗いけれど・・・。

そして、これの意味するところは、

　　
だケロ。

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