第３０回 コーシーの評価式とその応用

第３０回　コーシーの評価式とその応用

前回やった
　　
という公式を使うと、いろいろなことが証明できるという話をしますにゃ。

コーシの評価式
Cをαを中心とする半径ｒの円とし、f(z)がCおよびその内部で正則とする。z∈Cに対し、｜f(z)｜≦Mであるならば、
　　
である。

【証明】
　　
であるので、

　　

ちなみに、

　　
だケロ。これは半径ｒの円周の長さのことだから。
ちなみに、真面目に計算をすると、

　　
となる。

念のために書くけれど、

　　

となる。

定義　複素平面C全体で正則な関数を整関数という。

たとえば、三角関数sinzやcosz、指数関数、さらに、などは整関数の代表例だにゃ。

リウヴィルの定理
f(z)が有界な整関数ならば、f(z)は定数である。

【証明】
f(z)は有界な関数なので、任意のｚに対して｜f(z)｜≦MとなるMが存在する。

任意のｚを中心とし、任意の半径ｒを書くと、コーシーの評価式から
　　
ｒは任意の正数だからｒ→∞とすると、

　　
任意のｚに対してｆ’(z)=0だから、f(z)は定数となる。


平均値の性質

f(z)がαを中心とし、半径ｒの円の周およびその内部で正則であれば、
コーシーの積分公式より、

　　

になる。これを平均値の性質という。

証明は、こうすればいいにゃ。
中心α、半径rの円は
　　
だにゃ。

で、

　　
ということで、

　　

よって、

　　
となる。

他にも、代数学の基本定理や最大値の原理（？）が証明できるのだけれど、複素解析にあまり関係ないので、やらないにゃ。
複素解析の本、教科書によっては書いていないし(^^ゞ。

最大値の原理
Cを単一閉曲線とし、f(z)はCの周およびその内部で正則とする。このとき、｜f(z)｜はその最大値を境界C上でとる。

代数学の基本定理

代数方程式

　　

は根を持つ。

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