第１４回 ３重積分の変数変換

第１４回　３重積分の変数変換

３重積分の場合、ヤコビアンJは次のようになる。

定義
x=φ(u,v,w)、y=ψ(u,v,w)、x=η(u,v,w)がともに級であるとき、次の行列式

　　
を写像(x,y,z)→(φ(x,y,z),ψ(x,y,z),η(x,y,z))のヤコビアンという。

そして、次の定理。

定理

Ωはxyz-空間の積分領域とし、関数f(x,y,z)はΩで連続とする。の変換x=φ(u,v,w)、y=ψ(u,v,w)、x=η(u,v,w)により積分空間Γに１対１対応するとする。このヤコビアン
　　
がJ(u,v,w)≠0を満たすならば

　　

で、３次元の極座標は、

　　


それで、このヤコビアンは

　　

になる。

ということで、次の定理が成立するにゃ。

定理

Ωはxyz-空間の積分領域とし、関数f(x,y,z)はΩで連続とする。極座標
　　
により積分空間Γに１対１対応するとする。このとき

　　
となる。

では、早速問題を。

問題１

　　

「解」

このΩは原点を中心とする半径aの球で、上の積分はその体積。積分領域Ωを極座標変換すると、

　　

になるので、

　　

となる。

問題２

　　

【解】

３重積分は計算が大変なので計算したくないというのが本音なのだが・・・。

極座標x=rsinθcosφ,x=rsinθcosφ,z=rcosxθで変換すると、

　　

になる。
よって、
　　

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