第２回 ベクトルの幾何学への応用

第２回　ベクトルの幾何学への応用

定点Oから点Pに引かれたベクトルを点Oに対する位置ベクトルといい、定点Oを原点という。

そして、

点Oに対するA、Bの位置ベクトルをとするとき、

 　　

になる。

と、第１回目の復習をし、先に進むにゃ。

（１）線分をm:nに分ける点

２点A、Bの点Oに対する位置ベクトルをa、ｂとし、線分ABをm:nに分ける点をP、そして、その位置ベクトルをpとする。

このとき、AP:PB=m:nなので、

　　

となる。

ABの中点の位置ベクトルは

　　

である。

点A、Bの座標をとすると、ABをm:nに内分する点の座標は①より

　　

となるにゃ。

例　線分ABをAP:PC=3:2に内分する点の位置ベクトルpは

　　

問題１　平行四辺形の対角線は互いに他を２等分することを示せ。

【解】

平行四辺形ABCDの頂点Aに対するB、Dの位置ベクトルをb、ｄとする。つまり、

　　

そうすると、になる。

で、BDの中点をMとすると、

　　

となり、MはADの中点である。よって、ACとBDは互いに２等分している。

（２）直線のベクトル方程式

定点Aを通りベクトルdに平行な直線

原点をOとし、直線上の任意の点をPとすると、

　　
となる。

点Aと点Pの位置ベクトルをa、pとする。はdと平行なので、となる実数ｔが存在する。

よって、

　　

tが変化すると、pの終点は、aを通りdに平行な直線を描くので、これが求める直線のベクトル方程式。

２点A、Bを通る直線の方程式

原点Oに対するA、Bの位置ベクトルをa、bとすると、

　　

よって、点Aを通りd=b–aに平行な直線の方程式は③式より

　　

また、④式は

　　
と書き換えることもできるにゃ。

問題２　３点A、B、Cが同一の直線上にあるための必要十分な条件は、それらの原点に対する位置ベクトルをa、b、cとするとき、

　　la+mb+nc=0かつl+m+n=0

となるようなl、m、n（同時に０でない）が存在することである。

【解】

Cは２点A、Bを通る直線にあるので

　　

よって、l=λ、m=μ,n=−1とおけば、

　　la+mb+nc=0かつl+m+n=0(n≠0)

逆に上式が成り立つものとし、n≠0であるとすれば、上の式の両辺をnで割り

　　

とおけば、c=λa+μb、λ+μ=1となる。

よって、Cは直線AB上に存在する。

問題３　三角形の３つの中線は一点で交わることを証明せよ。

この交点は三角形の重心であり、原点に対する三角形の３つの頂点の位置ベクトルをa、b、cとするとき、重心の位置ベクトルは

　　

である。

【略解（？）】

頂点aを通る中線の方程式は

　　

t=2/3にすれば

　　

この問題と解はとある数学の本に書いてあるものなのですが、この【略解】を見て納得できる奴は、数学がものすごくできる奴か、そうでなければ⑨のどちらかです(^^ゞ

（３）平面のベクトル方程式

定点Aを通り、ｂ、ｃに平行な平面

原点をOとし、平面上の任意の点をPとすれば

　　

さらに、A、Pの位置ベクトルをa、pとすれば、b、c、は同一平面上にあるので、適当なsとtに対して

　　

ｓ、ｔの値が変化すれば、pの終点はこの平面上を描くことになり、これが平面のベクトル方程式である。

３点A、B、Cを通る平面

点A、B、Cの位置ベクトルをa、b、cとすれば、

　　

よって、⑥式より

　　
また、これを書き換えて

　　

となる。

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