第１回 ベクトル

第１回　ベクトル

今日からベクトルの微分積分をやるにゃ。その前に、（幾何学的な）ベクトルについて復習。

ベクトルの定義
空間の２点AとBを結ぶ線分にAからBに向かう矢印（向き）を付けたもの（有向線分）をベクトルと呼ぶ。AとBを通る直線の方向をベクトルの方向といい、線分ABの長さをベクトルの大きさという。

実数は、大きさを持つが、方向や向きを持たないのでスカラという。

ねこ騙し数学では、原則として、ベクトルを斜体の太字、a、bという記号であらわすことにするにゃ。

ベクトルaの大きさを｜a｜やaであらわす。そして、始点と終点がが同一の点で、大きさが０であるベクトルを零ベクトルといい、記号0であらわす。

aが始点A、終点Bの有向線分であるとき、Bを始点、Aを終点とする有向線分を−aであらわす。

aが零ベクトルでなければ、aと−aは大きさと方向は同じであるけれど、向きは逆になる。

高校数学のベクトルの書き方にならうと、ととなるので、このことが直感的に分かるんじゃないか。

ベクトルの和と差

図のようにとするとき、線分OAと線分OBを２辺とする平行四辺形の対角線で定まる有向線分をaとbの和と呼び、a+bであらわす。

だから、と考えてもいいケロ。

ベクトルの差はa–b= a+(–b)と定義する。

a–a=a+(–a)=0である。

また、ベクトルの和について、交換法則と結合法則が成り立つ。

　　a+b=b+a
　　a+(b+c)=(a+b)+c≡a+b+c

スカラとベクトルの積

スカラαとベクトルaが与えられたとき、αとaの積であるベクトルαaを次のように定義する。

　　（１）　α=0またはa=0のとき、αa=0とする。

　　（２）　α>0ならば、大きさが｜α｜｜a｜で方向と向きがaと同じベクトルをαa

　　（３）　a<0ならば、大きさが｜α｜｜a｜で方向がaと同じで向きがaと反対のベクトルをαaとする。

αaはaαとも書き、次のことが成り立つ。

　　1a=a

　　(–1)a=−a

　　α(βa)=(αβ)a≡αβ

　　(α+β)a=αa+βa

　　α(a+b)=αa+αb

大きさ１のベクトルを単位ベクトルという。
ベクトルAと同じ向きの単位ベクトルをaとし、AをベクトルAの大きさとするとき、

　　A=Aa

である。

空間に直角座標系（右手系）O-xyzを導入し、x、ｙ、ｚの軸の正の向きをもつ単位ベクトルをそれぞれi、j、kとであらわし、これらを基本ベクトルという。



ベクトルaの始点を原点Oにおいたときの終点の座標がであるとき、のそれぞれをベクトルaのx成分、y成分、z成分といい、このとき、ベクトルaは
　　
であらわされる。

ベクトルaがx軸、y軸、z軸の正の向きとなす角をそれぞれα、β、γとすれば、

　　
で、cosα、cosβ、cosγはaの方向余弦で、それらをl、m、nとすれば、
　　
である。

また、

　　

が成り立つ。

さらに、

　　
である（※）。

成分を用いてベクトルの和、スカラとの積をあらわすことにする。

ベクトルとし、αをスカラとする。

この時、ベクトルの等式a=bは、と同等である。
ベクトルの和は、
　　

となり、a+bの成分は、である。

また、

　　

である。

原点OからPに向かって引かれたベクトルを原点Oに対する点Pの位置ベクトルという。Pの座標をx、y、zとすると、

　　

で、点Pの座標は位置ベクトルの成分である。

また、点から点に向かうベクトルは
　　

である。

　　

と考えると、がこうあらわされるのか、分かるんじゃないかな。

（※）

　　

（オマケ）２次元の場合の成分の図

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