第36回 直交曲線座標における勾配、発散、回転 [ネコ騙し数学]
第36回 直交曲線座標における勾配、発散、回転
勾配
u、v、wの関数をφ(u,v,w)とする。このとき、φの発散は次のようになる。u=u(x,y,z)、v=v(x,y,z)、w=w(x,y,z)であるとすると、合成関数の偏微分の公式より
この結果を①に代入して整理すると、
になる。
また、
という関係があるので、
となる。
発散
A(u,v,w)のu成分、v成分、w成分をそれぞれとすると、となる。
ゆえに、
で、上の式の第1項に注目するのだけれど、ベクトルの微分には次のような公式がある。
∇・(φa)=∇φ・a+φ∇・a
また、u=v×w=(h₂∇v)×(h₃∇w)=h₂h₃∇v×∇wだからで、さらに上の式の右辺第1項は
右辺第2項は
ゆえに
についても同様に
となる。
よって、
となる。
さらにA=∇φのときなので、
となる。
回転
だから、
右辺第1項は
∇×(∇u)=0だから
同様に
よって、
ということで、
となる。
以上のことより、結果をまとめると、
勾配
発散
ラプラシアン
回転
タグ:ベクトル解析
2016-03-18 12:19
nice!(2)
コメント(0)
トラックバック(0)
コメント 0