第３７回 円柱座標、極座標の勾配、発散、回転

第３７回　円柱座標、極座標の勾配、発散、回転

前回、直交曲線座標の勾配、発散、回転を求めた。その結果は以下の通り。

勾配

　　

発散

　　

ラプラシアン

　　

回転

　　

　　

ここで、h₁、h₂、h₃は

　　

ということで、よく使われる円柱座標、球（面）座標、すなわち、３次元の極座標の勾配、発散などの表示を求めることにする。

円柱座標の場合

円柱座標とは、以下のようなもの。

　　

円柱座標のh₁、h₂、h₃は第３４回の問題１で求めた。その結果は、h₁=1、h₂=r、h₃=1。

だから、円柱座標での勾配は

　　

成分で書くと、

　　

になる。

発散は、

　　

ラプラシアンは

　　

回転は

　　

３次元の極座標（球座標）の場合

３次元の極座標は次のようなもの。

　　

そして、このときh₁=1、h₂=r、h₃=rsinθになる。

勾配

　　

発散

　　

ラプラシアン

　　

回転

　　

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