第１７回 ２次関数とのグラフと２次方程式

第１７回　２次関数とのグラフと２次方程式

２次関数y=ax²+bx+cと直線y=mx+nがあるとする。このとき、２次関数と直線の間には下図で示すような位置関係、上下関係があるにゃ。

そして、２次関数と直線の交点の数は、２次方程式ax²+bx+c=mx+nの解を判別することによって調べられる。つまり、この２次方程式

　　

の判別式

　　

の値がD>0ならば交点の数は２、D=0ならば交点が一つ、つまり、接点となり、D<0ならば交点は０ということになる。

ということで、早速、問題を解いてみることにする。

問題１　放物線y=x²+axが、次の条件に適するように、定数aの値または範囲を定めよ。

（１）　直線y=x−1と２点で交わる。

（２）　直線y=x−1と接する。

（３）　つねに、直線y=x−1の上方にある。

【解】

y=x²+axとy=x−1の交点では

　　

になるにゃ。

よって、

　　

となり、この判別式をDとすると

　　

となる。

（１）　D>0なので、a<−1またはa>3

（２）　D=0なので、a=3、−1

（３）　問題の条件は、すべてのxについてx²+ax>x−1だにゃ。

だから、任意のxに対して

　　

が成り立てばいい。これが成り立つ条件はD<0だから、−1<a<3。

２次不等式はやっていないけれど、次の図を見れば、xの２次方程式の解をα、β（α≦β）とし、xの２次の係数が正のとき、

ax²+bx+c>0を満たすxの範囲はx<α、x>β

ax²+bx+c<0をみたすxの範囲はα<x<β

であることが理解できると思うにゃ。

問題２　放物線y=x²−2x+3と直線y=mx+1の共有点の個数を、mのいろいろな値に対して調べよ。

【解】

　　

この２次方程式の判別式をDとすると、

　　

になる。

で、２次方程式

　　

を解くにゃ。

　　

このことから、

D>0を満たすとき、つまり、共有点が２個の時のmは、m<−2−√2、m>−2+√2

D=0のとき、つまり、共有点が１個の時はm=−2±√2

D<0のとき、共有点がない時は−2−√2<m<−2+√2

退屈の虫が騒ぎ出してきたケロ。

なので、２次関数の最大、最小に関する少し発展的な問題を。

問題３　3x²+2y²=9xのとき、x²+y²の最大、最小値を求めよ。また、その時のxの値を求めよ。

【解（？）】

3x²+2y²=9xだから

　　

となって、x²+y²にこれを代入すると、

　　

このy=f(x)グラフを書くと次のようになる。

よって、x=9/2のとき最大で、最大値は81/8、最小値は無し！！

これは間違っているにゃ。何故か、わかるケロか。

何故ならば、①の条件より、y²≧0、よって

　　

となり、xの取りうる値は0≦x≦3で、頂点は0≦x≦3の範囲にないからだにゃ。

だから、f(x)の定義域は0≦x≦3となり、この区間でf(x)は単調増加。よって、x=0（y=0）のとき最小で最小値は0。そして、x=3（y=0)のとき最大で9になる。

タグ：中学数学

第１７回　２次関数とのグラフと２次方程式

２次関数y=ax²+bx+cと直線y=mx+nがあるとする。このとき、２次関数と直線の間には下図で示すような位置関係、上下関係があるにゃ。

そして、２次関数と直線の交点の数は、２次方程式ax²+bx+c=mx+nの解を判別することによって調べられる。つまり、この２次方程式

　　

の判別式

　　

の値がD>0ならば交点の数は２、D=0ならば交点が一つ、つまり、接点となり、D<0ならば交点は０ということになる。

ということで、早速、問題を解いてみることにする。

問題１　放物線y=x²+axが、次の条件に適するように、定数aの値または範囲を定めよ。

（１）　直線y=x−1と２点で交わる。

（２）　直線y=x−1と接する。

（３）　つねに、直線y=x−1の上方にある。

【解】

y=x²+axとy=x−1の交点では

　　

になるにゃ。

よって、

　　

となり、この判別式をDとすると

　　

となる。

（１）　D>0なので、a<−1またはa>3

（２）　D=0なので、a=3、−1

（３）　問題の条件は、すべてのxについてx²+ax>x−1だにゃ。

だから、任意のxに対して

　　

が成り立てばいい。これが成り立つ条件はD<0だから、−1<a<3。

２次不等式はやっていないけれど、次の図を見れば、xの２次方程式の解をα、β（α≦β）とし、xの２次の係数が正のとき、

ax²+bx+c>0を満たすxの範囲はx<α、x>β

ax²+bx+c<0をみたすxの範囲はα<x<β

であることが理解できると思うにゃ。

問題２　放物線y=x²−2x+3と直線y=mx+1の共有点の個数を、mのいろいろな値に対して調べよ。

【解】

　　

この２次方程式の判別式をDとすると、

　　

になる。

で、２次方程式

　　

を解くにゃ。

　　

このことから、

D>0を満たすとき、つまり、共有点が２個の時のmは、m<−2−√2、m>−2+√2

D=0のとき、つまり、共有点が１個の時はm=−2±√2

D<0のとき、共有点がない時は−2−√2<m<−2+√2

退屈の虫が騒ぎ出してきたケロ。

なので、２次関数の最大、最小に関する少し発展的な問題を。

問題３　3x²+2y²=9xのとき、x²+y²の最大、最小値を求めよ。また、その時のxの値を求めよ。

【解（？）】

3x²+2y²=9xだから

　　

となって、x²+y²にこれを代入すると、

　　

このy=f(x)グラフを書くと次のようになる。

よって、x=9/2のとき最大で、最大値は81/8、最小値は無し！！

これは間違っているにゃ。何故か、わかるケロか。

何故ならば、①の条件より、y²≧0、よって

　　

となり、xの取りうる値は0≦x≦3で、頂点は0≦x≦3の範囲にないからだにゃ。

だから、f(x)の定義域は0≦x≦3となり、この区間でf(x)は単調増加。よって、x=0（y=0）のとき最小で最小値は0。そして、x=3（y=0)のとき最大で9になる。