番外編 比例式と加比の理

番外編　比例式と加比の理

§１　比例式

比例式とは、比あるいは連比に関する等式のことで、たとえば、

　　a:b=c:d

や

　　

で与えられる式のこと。

問題１　x:y=3:2のとき、

　　

の値を求めよ。

【解】

　　

よって、

　　

【別解】

　　

よって、

　　

問題２　

　　

のとき

　　

が成り立つことを証明せよ。

【解】

　　

よって、

　　

§２　加比の理

加比の理

　　のとき

　　

である。

【証明】

　　

（証明終わり）

意外に気づきにくい性質である。

これを図形的に解釈することにするにゃ。

A(a,b)、B(c,d)とするにゃ。で、原点OとA、Bを通る２本の直線を考える。b/a=d/cなので、直線の傾きは同じで、さらに、この２本の直線は原点を通るので、同一の直線である。

上図より、C(a+c,b+d)がこの直線にあることは明らかなので、

　　

になる。

ベクトルを使うともっとスッキリするんだろうけれど・・・。

問題３

　　

のとき、この分数式の値を求めよ。

 

【呟き】

a=b=c=1のとき、この分数式の値が２になることはすぐに分かるにゃ。そして、問題は、「この値が２だけか」だにゃ。

【解】

　　

とする。

　　

上の３式の右辺と左辺を足し合わせる。

　　

a+b+c=0のとき

　　

ここで止めていいかだが・・・。

k=2のとき

　　

①−②

　　

これを③に代入すると

　　

a=b=cのとき、確かに式の値は２になるにゃ。ただし、a、b、cがともに０である場合は除く。