番外編 いきなり非ユークリッド幾何学

番外編　いきなり非ユークリッド幾何学

公理主義に基づく幾何学を理解するためにいい題材だと思うので、いきなり、非ユークリッド幾何学！！
非ユークリッド幾何学の一例として、こんな問題をあげてみるにゃ。

問題

H平面とは、座標平面上でy>0の部分をいう。また、その上のH直線とは、座標平面上の図形のうち、次のものをいう。

（a）　x軸に垂直な直線のH平面内にある部分（つまり、半直線）

（ｂ）　x軸上に中心を持つ円周のH平面内にある部分（つまり半円周）

これについて、次の問いに答えよ。

（１）　H平面上の異なる２点P、Qを通るH直線は１つであり、２つ以上はない。その理由を述べよ。

（２）　１つのH直線以外の１点を通って、これと交わらないようなH直線は２つ以上ある。たとえば、(2, 2)を通り、

　　

で与えられるH直線lと交わらないH直線を２つあげよ。

何やら難しいことを書いているように見えますが、実は・・・(^^)

この問題に出てくるH直線というのは図のような２タイプ（白抜きの○の部分は含まない）。

相異なる２点PとQの座標をそれぞれ(x₁, y₁)、(x₂, y₂)とすると、

　　タイプ（a）　x₁=x₂、y₁≠y₂
　　タイプ（b）　x₁≠x₂

の場合。

もちろん、y₁>0、y₂>0。

タイプ（a）の場合、
x₁=x₂だから

　　

がH直線ということになる。

x₁≠x₂のタイプ（b）の場合は、円の中心はx軸上にあるので、その座標を(c,0)とし、半径をrとすると、

　　

となる。で、この半円周は相異なる２点P、Qを通るので

　　

を満たさなければならない。

　　

だから、①−②は

　　

rについては計算しないけれど、(x₁,y₁)、(x₂,y₂)から、cと半径rの値が一つに決まることがわかる。

で、もし、x₁=x₂のとき、半円周タイプのH直線があるとすると、

　　

となって、上の式と下の式の差をとると

　　

になるけれど、y₁>0、y₂>0だから、y₁=y₂となり、x₁=x₂と合せると、P=Qになってしまう。だから、x₁=x₂のとき半円周のH直線にはならないケロ。

また、x₁≠x₂のとき、相異なるP、Qを通るH直線がx=x₁またはx=x₂の半直線にならないのは明らかだケロ。

よって、相異なる２点P、Qを通るH直線は一本しかない。

式を使えばこうなるけれど、上の図を見ればほとんど明らかでしょう。

タイプ（b）のとき、半円周の中心C(c, 0)はPQの垂直二等分線とx軸との交点で、この交点Cは必ず存在するにゃ。

（２）は、それこそ無数に存在するにゃ。

　　

２つでいいらしいから、２つあげるにゃ。

　　

相異なる２直線が交わらないとき、２直線は平行であると定義される。

l₁とl₂は、lと交わらないから、なんと、この２つのH直線はlと平行なんだケロ。
定義からそうなるにゃ。
そして、
（Ⅲ）　平行線の公理　直線外の１点を通り、この直線に平行な直線はただ１つである

H直線lの外の１点Pを通り、このH直線ｌに平行なH直線はただ一つではないにゃ。
つまり、このH直線では平行線の公理は破れている！！

結合の公理は満たしているけれど、平行線の公理は満たしていない。

このことは、幾何学において、平行線の公理は必ずしも必要ではなく、平行線の公理を否定する別の公理を採用しても構わないということを意味するにゃ。

そして、それが非ユークリッド幾何学と呼ばれるものなんだケロ。

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