第１６回 相似と比例に関する総合問題

第１６回　相似と比例に関する総合問題

これまでやってきた図形の相似に関する総合的な問題を、復習をかねて、解くことにします。

問題１　BC=CG、である。AF=3、EF=2、FC=2のとき、x、yの大きさを求めよ。

【解】

△ADC∽△AEFだから

　　

また、△BGE∽△BCD。

題意より

　　

（解答終わり）

⑨のところは、BC=CG、だから、中点連結定理よりDはBEの中点、そして、EF=2DCとなるので、これを使ってもいい。

この問題で点Dが与えられていなければ、メネラウスの定理を２度使って求めてもよい。

【別解】

△ABCとBGでメネラウスの定理より

　　

△GBEとBAでメネラウスの定理より

　　

（別解終わり）

問題２　である。AB=4、EF=9とするとき、CDの長さを求めよ。

【解？】

台形ABDC∽台形CDFE

　　

【解答？終わり】

と、解いちゃ〜駄目なんでしょうね〜。

【解】

△BDC∽△DFE

よって、

　　

△ABC∽△EDE

　　

だから、

　　

なので、①と②より

　　

（解答終わり）

問題３　、ACとBDの交点をO、DB、ACの中点をそれぞれP、Qとし、AD=4、BC=8とするとき、次の問いに答えよ。

（１）　PQを求めよ。

（２）　△OADと△OQPの面積比はいくらか。

（３）　四角形ABCDの面積は、△OPQの面積の何倍か。

【解】

（１）　PQの延長とCDの交点をRとする。

、CP=PBと中点連結定理より、RはCDの中点である。

△CBDに注目。中点連結定理より

　　

△ADCに注目すると、同様に

　　

よって、

　　

（２）　△OAD∽△OQP。

相似比は

　　

なので、面積比は4:1。

（３）　少しは自分でやるべきだと思うにゃ！！

答えは1/36だケロ。

こんなものは暗算だにゃ。

　　

や

　　

と計算できるにゃ。

真面目に解けよな！！

真面目に解いた人にしか、上の式の意味はわからない！！

（解答終わり）

PQの長さに関しては、中点連結定理のあたりで

　　

という公式（？）を出している。これを使ってもいいが・・・。

問題４　平行四辺形の中点をE、AEとBDの交点をFとする。平行四辺形の面積が200であるとき、次の問いに答えよ。

（１）　BF:FDを簡単な整数比であらわせ。

（２）　△BEFの面積を求めよ。

（３）　四角形DFECの面積を求めよ。

【ヒント】

（１）　△AFD∽△EFB

（２）　△ABDは平行四辺形ABCDの面積の半分。さらに、

　　

あとは相似比（の２乗）から△BEFの面積が出てくる。

（３）　100−△BEFだケロ。

オレが解いてもしょうがないケロ。

解けよな！！

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