番外編 円の接線と極線

番外編　円の接線と極線

円外の点Pから円Oに接線を引き、その接点をQ、Rとする。Q、Rを通る直線を円Cに関するPの極線といい、Pを極という。

抽象的な話ではイメージがわかないと思うので、早速、問題を解いてみることにする。

問題１　次の問いに答えよ。

（１）　円x²+y²=5に点(3,1)から引いた接線の方程式と接点を求めよ。

（２）　（１）で求めた接点を通る直線の方程式を求めよ。

【解】

（１）　接点を(a,b)とする。そうすると、接線の方程式は

　　

これが点(3,1)を通るので

　　

また、(a,b)は円x²+y²=5上の点なので

　　

②と③より

　　

bは②より

　　

よって、接点は(a,b)=(1,2)、(2,−1)。

また、接線の方程式は①より

　　

（２）　２点(1,2)、(2,−1)を通る直線の方程式は

　　

（解答終わり）

こういうふうに解くことができる。

（２）の直線、つまり、(3,1)に関する円x²+y²=5を求めるだけならば、こうした計算をすることなく、

　　

とすぐに求められるんだケロ。

問題２　円x²+y²=r²のP(x₁,y₁)の接線の方程式は

　　

である。

（１）　円外の点A(a,b)からこの円に２つの接線を引き、その接点をP、Qとするとき、PQの直線の方程式を求めよ。

（２）　直線PQ上の円外の１点より、再びこの円に２つの直線を引き、接点をB、Cとする。このとき、直線BCはAを通ることを示せ。

【解】

（１）　接点をP(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)とすると、その接点における接線の方程式は

　　

①、②は点A(a,b)を通るので

　　

となり、P、Qは直線ax+by=r²上にあることとなる。２点を通る直線は１本しかないので、これが求める直線である。

よって、

　　

である。

だから、問題１の（２）は、計算をするまでもなく、3x+y=5と求めることができる！！

（２）　直線PQ上の円外の点をR(s,t)とする。この点は⑨上にあるので

　　

である。

また、⑨からB、Cを通る直線の方程式は

　　

④の左辺にx,y)=(a,b)を代入すると、③より

　　

となり、点(a,b)は直線BC上にあることになる。

（解答終わり）

この問題２は定理（のようなもの）なのであった。

ちゃんと通っているだろう。

初等幾何的な証明ではないけれど、この定理を証明したということになる。

もののついでに話しただけだにゃ。

だけど、時々、大学の入試問題でこれに類する問題が出るようだね。

受験生ならば、知っておいて損のない話であると思う。

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