第24回 2円の共通接線の方程式を求める [ネコ騙し数学]
第24回 2円の共通接線の方程式を求める
問題
2つの円C₁:x²+y²=4、C₁:(x−4)²+y²=1の両方に接する直線は全部で4つある。この4本の直線を求めよ。解法は幾つかありますが、一番簡単なのは次の公式を利用する方法だろう。
ax+by+c=0と点(x₀,y₀)の距離dはである。
これを使ってこの問題を解いてみることにするにゃ。
C₁上の点(s,t)に接する直線の方程式は
となる。
点(s,t)はC₁上の点なので
でなければならない。
①はC₂の接線だから、C₂の中心(4,0)との距離は1。
よって、直線と点の距離の公式より②より
また、
だから、これにs=1/2、3/2を代入すると
よって、
この値を①に代入したのが共通接線の方程式で
となる。
これでいいと思うけれど、ちょっと見てくれが悪いので
(解答終わり)
いま、初等幾何をやっているので、初等幾何の知識を使ってこの問題に迫ってみるにゃ。
2本の共通外接線の交点をAとする。図形の対称性からAがx軸上にあるのは明らかだケロ。
また、円C₁の中心をO₁、円C₂の中心をO₂、そして共通外接線(の一本)と円C₁、C₂の接点をB、Cとする。
接線なのだから半径となす角は直角。このことから、O₁BとO₂Cが平行であることがわかる。そして、C₁の半径は2、C₂の半径は1だケロ。だから、点Cと点O₂は中点連結定理より、AB、AO₁の中点ということになる。
よって、このことから、Aは(8,0)であることがわかる。
△ABO₁は直角三角形なので
また、共通外接線とy軸との交点をDとすると、
△ABO₁∽△AO₁D
よって、よって、この直線の傾きが
であることがわかり、
直線の方程式が
上下あるので
と求めることができる。
共通内接線は
△ABO₁∽△ACO₂よって、AはO₁O₂を2;1に内分する。
このことから
で、三平方の定理より
で、△AO₁D∽△ABO₁
よって、直線の方程式は
初等幾何でこの問題を解くことができた。
タグ:初等幾何
2016-06-18 12:10
nice!(0)
コメント(0)
トラックバック(0)
コメント 0