第29回 円周角の定理 [ネコ騙し数学]
第29回 円周角の定理
次の2つの定理を既知のものとして話を進めることにする。
定理A
等しい中心角に対する弧または弦は等しい。
定理B(定理Aの逆)
等しい弧または弦に対する中心角は等しい。
では、円周角の定理。
円周角の定理
1つの弧に対する円周角は、その弧に対する円周角の半分に等しい。
弧ABに対する円周角∠APBは
というわけです。
【円周角の定理の証明】
(1) 円の中心Oが直線PAまたは直線PB上にある場合OがPB上にある場合を証明すれば十分。
△OAPはOP=OAの二等辺三角形。
よって、∠APO=∠OAP
∠AOBは∠APOの外角なので、
(2) 円の中心Oが∠APBの内部にある場合
POの延長と円Oの交点をDとする。
(1)より
(3) 円の中心Oが∠APBの外部にある場合
(1)より
(1)、(2)、(3)のいずれの場合でも、
である。
(証明終わり)
この円周角の定理と、定理A、Bから次のことが言える。
定理 同じ円、または、半径の等しい円において
(1) 等しい弧に対する円周角は等しい(2) 等しい円周角に対する弧は等しい
等しい弧ならば、中心角は等しく、円周角は中心角の半分に等しいので、円周角は等しくなる。
また、等しい円周角ならば、中心角は等しく、したがって、弧も等しくなる、からだケロ。問題1 円周を5等分する点を順に、A、B、C、D、Eとする。∠ACB、∠ABCを求めよ。
【解】よって、円周角の定理より∠ACBは
円周角∠ABCに対応する弧は弧CDEAで、これに対する中心角∠COAは
よって、円周角の定理より
問題2 弧AM=弧MB、弧AN=弧NCであれば、△ADEは2等辺三角形であることを証明せよ。
【証明】
等しい弧に対する円周角は等しい。
弧AM=弧MBだから弧AN=弧NCだから
で、三角形の内角と外角の関係より
よって、△ADEは2等辺三角形である。
(証明終わり)
問題3(方べきの定理)
円の2つの弦AB、CDの交点をPとするとき、であることを示せ。
【証明】
弧ACの円周角なので、円周角の定理より∠ABC=∠ADC
弧BDの円周角なので∠BCD=∠BAD
よって、△APD∽△CPB
△APDと△CPBは相似なので(証明終わり)
方べきの定理は、これからいろいろなところで使うので、憶えておくと便利です。
タグ:初等幾何
2016-06-22 12:25
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