ベクトル 内積と成分(平面の場合) [ネコ騙し数学]
ベクトル 内積と成分(平面の場合)
平面上にある2つのベクトルの内積の成分表示を求めることにする。
であり、基本ベクトルをとすると、それぞれ
となる。
したがって、内積は
また基本ベクトルは大きさが1で互いに直交するので、
この結果を上式に代入すると
特に、と基本ベクトルとの内積は
つまり、ベクトルの成分はベクトルと基本ベクトルとの内積になっている。
問題1 のなす角θ(0≦θ≦180°)を求めよ。
【解】内積の定義は
よって、
内積を求めると
また、
よって、
問題2 ベクトルに垂直で、大きさがに等しいベクトルを求めよ。
【解】とする。
だから
だから
よって、
これを解くと(x,y)=(3,−4)、(−3,4)。
よって
問題3 3点A(−1,0)、B(0,2)、C(−3,1)が与えられている。
を満たす第1象限の点Dの座標を求めよ。
点Dの座標を(x,y)とする。
よって、
これを解くと、(x,y)=(2,1),(-2,3)。
Dは第1象限の点なので、D(2,1)。
問題4 ベクトルに対して、ベクトルの成分を、次のそれぞれの場合について求めよ。
(1) とが平行の場合
(2) とが垂直の場合
【解】(1) とが平行なのでを満たす実数kが存在しなければならない。
よってまた、であり、b=−2
(2) だからでなければならない。
よってまた、のとき
であり、よって、b=2である。
タグ:ベクトル
2016-07-16 12:08
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