ベクトル 空間ベクトルの内積と成分 [ネコ騙し数学]
ベクトル 空間ベクトルの内積と成分
§ 空間ベクトルの内積の成分表示
空間では、ベクトルは次のように3つの成分で表される。
基本ベクトルを用いて表すと
したがって、との内積は
となり、
になる。
何故ならば、
だから。
§ 方向余弦
x軸、y軸、z軸の正の向きとベクトルのなす角を、それぞれ、α、β、γとすると
となり、同様に
となる。
また、
だから、
この3つの組をの方向余弦といい、
であらわす。
のとき
したがって、方向余弦には次の関係がある。
§ 問題編
ベクトルのなす角θ
問題1 のなす角θ(0°≦θ≦180°)を求めよ。
【解】また、
よって
よって、θ=30°
(解答終わり)
問題2 のとき
(1) ベクトルのなす角を求めよ。
(2) の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。
【解】(1) 、また
よってよって、θ=60°。
(2) の両方に垂直な単位ベクトルをとする。
単位ベクトルなのではに垂直なので
これを代入すると
よって、
(解答終わり)
問題3 大きさが2、x軸、y軸の正の向きとなす角がそれぞれ45°、60°であるベクトルの成分を求めよ。、また、そのベクトルがz軸の正の向きとなす角度を求めよ。
【解】求めるベクトルの方向余弦をl、m、nとすると
よって
したがって、γ=60°、120°。
求めるべきベクトルをとすると
よって、(√2,1,1)または(√2,1,−1)。
(解答終わり)問題3から分かるように、一般にベクトルがx軸、y軸、z軸の生の向きとなす角α、β、γの和α+β+γは、一般に180°にならないので、注意して欲しいにゃ。
タグ:ベクトル
2016-07-16 12:09
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