接線の方程式

接線の方程式

関数y=f(x)において、x=x₁、x=x₁+Δxに対応する点をP、Qとする。

このとき、平均変化率

　　

は直線PQの傾きに等しい。

Δx→0とすると、曲線上の点Qは限りなくPに近づき、平均変化率が一定の値に近づくならば、この一定値はx=x₁
における微分係数f'(x₁)であり、直線PQは点Pをとおり、傾きがf'(x₁)である直線PTに限りなく近づいてゆく。

曲線上に２点、P、Qをとり、Pを固定し、曲線に沿ってQを限りなくPに近づけるとき、直線PQが限りなく一定の直線PTに近づく場合、直線PTをこの曲線の点Pにおける接線といい、点Pを接点という。
したがって、y=f(x)上の点P(x₁,f(x₁))における接線の方程式は、

　　

である。
また、接線とx軸がなす角をαとすると

　　

である。

点Pにおける法線の方程式は

　　

である。

上の式が点Pにおける法線を与えることは、接線と法線の方程式の傾きの積が−1であることより、明らかでしょう。

問題１　次の問いに答えよ。

（１）　y=x³上の点(1,1)における接線と法線の方程式を求めよ。

（２）　y=x³上の点(1,1)を通る接線の方程式を求めよ。

【解】

（１）　y'=3x²だから点(1,1)における接線の方程式は

　　

法線の方程式は

　　

（２）　接点を(a,a²)とすると、接線の方程式は

　　

これが点(1,1)を通過するので

　　

a=1のときの接線の方程式は、（１）より

　　

a=−1/2のときの接線の方程式は

　　

（解答終わり）

 

問題２　次の問いに答えよ。

（１）　曲線y=x³+ax²+bxが(−1,−5)において、y=2x−3に接するようにa、bの値を定めよ。

（２）　曲線y=x³−ax+2が直線y=2xに接するようにaの値を定めよ。

【解】

（１）　y=f(x)=x³+ax²+bxとすると、

　　

接点(−1,−5)がy=f(x)上に存在するのだから

　　

この点での接線の傾きが2だから

　　

①、②を解くとa=5、b=9

（２）　y=f(x)=y=x³−ax+2

接点を(p,q)とすると、曲線y=x³−ax+2と直線y=2xは、この点を通るので

　　

また、この点におけるy=f(x)の接線の傾きは2。

よって、

　　

②から

　　

これを①に代入すると

　　

③より、a=1である。

（解答終わり）

問題３　曲線y=ax³+4x+3は、係数aが変わっても

（１）　すべて同一の点を通ることを示せ。

（２）　すべて同一の直線に接することを示せ。

【解】

（１）

　　

任意のaについて①が成立するためには、x³=0かつ4x-y+3=0でなければならない。

よって、x=0、y=3。

（２）　y=f(x)=ax³+4x+3とすると

　　

接点を(0,3)とすると、接線の方程式は

　　

よって、同一の直線y=4x+3に接する。

（解答終わり）

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